一周强化

一、一周知识概述

1、三角形全等的条件（三）

　 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

2、三角形全等的条件（四）

　 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

3、三个角对应相等的情形

　 三角角对应相等的两个三角形不一定全等.

4、三角形全等的条件的选用

　　选择哪种方法判定两个三角形全等，要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：

二、重难点知识归纳

重点：三角形全等的条件（三、四）及应用

难点：三角形全等的条件（一、二、三、四）的综合应用，并应用其解决“两直线垂直”和“线段和差倍分”的问题.

三、典型例题剖析

例1、如图（1），已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由.

　　若将过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况时，其他条件不变，那么图（1）中∠1与∠2的关系还成立吗？请说明理由.

分析：

　　要寻求∠1与∠2的关系，从直观上先判断出∠1=∠2，然后再说明结论成立的理由.由图形可知它们分别在两个三角形中，所以可以通过全等三角形来说明；另外，∠1，∠2正好是MN截AD、BC得到的一对内错角，因而可从AD∥BC来说理.比较（2）、（3）与（1）的关系，图形的位置变了，仔细观察，什么发生变化，什么没有发生变化？可知∠1仍然等于∠2，因为AD与BC的平行关系始终没有改变.

解：∠1与∠2具有相等关系，即∠1=∠2，理由如下：

在△ACD与△CAB中

∴△ACD≌△CAB

∴∠DAC=∠BCA

在△AOM与△CON中

∴△AOM≌△CON，∴∠1=∠2

若将过点O的直线旋转至图（2）、（3）的位置时，

∠1=∠2仍然成立，理由如下：

如图（2），在△ACD与△CAB中

∴△ACD≌△CAB

∴∠DAC=∠BCA.

∴在△AOM与△CON中

∴△AOM≌△CON

∴∠1=∠2.

如图（3）

在△ACD与△CAB中

∴△ACD≌△CAB，∴∠DAC=∠BCA

∴AD∥BC，∴∠1=∠2.

例2、如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交CD的延长线于F，BE⊥CD于E，求证：EF=CF－AF.

分析：

　　由图中可以看出EF=CF－CE，而求证结论是EF=CF－AF，因此，只要证出CE=AF即可，而要证明CE=AF，只要证明△BEC和△CFA全等就可得到.

证明：∵AC⊥BC，AF⊥FC，

　∴∠ACB=90°，∠F=90°

　即∠ACF＋∠BCE=90°

　∵BE⊥FC，∴∠BEC=90°

　∴∠ACF=∠CBE

　在△AFC和△CBE中

　

　△AFC≌△CBE，∴BE=DF

　又EF=CF－CE，∴EF=CF－AF.

例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

（1）求证：AE=CD；

（2）若AC=12cm，求BD的长.

证明：（1）∵CF⊥AE，∴∠4=90°

∠3＋∠2=90°

又∵∠1＋∠3=90°

∴∠1=∠2

又∵DB⊥BC

∴∠DBC=∠ACE=90°

在△DBC和△ECA中

∴△DBC≌△ECA

∴DC=EA 即AE=CD

（2）∵△DBC≌△ECA

∴DB=EC

又∵AE是BC边的中线

又∵AC=CB，AC=12cm

例4、如图所示，已知在四边形AB CD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线AC相交于点O，请问O点有何特征.

解：点O 既是AC的中点，又是EF的中点.

理由如下：在△ACD和△CAB中

∴△ACD≌△CAB

∴∠1=∠2

在△AOF和△COE中

∴△AOF≌△COE

∴OA=OC，OF=OE

∴O既是AC的中点，又是EF的中点.

例5、如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE.

证明：∵AD∥BC，∴∠M=∠Q

　又∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠3=∠4

　又∵MN=PQ，∴MN=QN

　在△DMP和△BQN中

　

　∴△DMP≌△BQN

　∴DP=BN

　在△DEP和△BEN中

　

　∴△DEP≌△BEN

　∴DE=BE

例6、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.

　求证：BD=2CE.

证明：延长BA、CE交于点F.

　∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°

　又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°

　∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°

　∴∠1=∠5

　在△ABD和△ACF中

　

　∴△ABD≌△ACF

　∴BD=FC

　在△BEF和△BEC中　

　

　∴△BEF≌△BEC

　∴EF=EC

　∴FC=2EC

　∴BD=2EC

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