一周强化

一、一周知识概述

1、等腰三角形及其性质

　　（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．

　　（2）性质

　　　　 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

　　　　 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

2、等腰三角形的判定定理

　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

3、“三角形奠基法”

　　根据已知条件先作出一个与求作图相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形．

指出：

　　（1）性质1提示由三角形的边的关系推出角的关系，同时也提供了证明两个角相等的一种新的方法．

　　（2）等腰三角形顶角的平分线、底边的中线、底边上的高互相重合是一个非常重要的性质，在今后的应用是非常广泛的．

　　（3）在叙述等腰三角形的判定定理时，要注意说成“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰相等”是错误的，因为在没有判定出它是等腰三角形以前，不能用“底角”“腰”等名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”．

　　（4）几何作图必须熟练地运用各种图形的一些性质．

　　（5）画草图的重要性：通过画草图，结合图形性质分析．找出画图的方法，这是几何作图的有效途径．

　　（6）注重基本作图在非基本作图中的运用．

　　（7）几何作图的方法的多样性．

二、重难点知识归纳

　　等腰三角形的性质、判定及其应用．

三、典型例题剖析

例1、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．

分析：

　　本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．

解：

　　设∠A=x．∵AD=DE=EB

　　∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．

　　又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，

　　∴∠EBD=∠EDB=．

　　∴BDC=∠A＋∠ABD=．

　　∵BD=BC，AB=AC，

　　∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=．

　　在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，

　　即，

　　∴x=45°，即∠A=45°．

例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？

　　如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．

解：

　　首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．

证明1：

　　过A作AG⊥BC于G．

　　∵AB=AC，∴∠3=∠4．

　　又∵AE=AF，∴∠1=∠E．

　　又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，

　　∴∠3=∠E，

　　∴AG//EF，

　　∴EF⊥BC．

　　接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．

证明2：

　　过A作AH⊥EF于H．

　　∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．

　　又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．

　　又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，

　　∴∠EAH=∠B，

　　∴AH//BC，

　　∴EF⊥BC．

　　小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．

证明3：

　　过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．

　　∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，

　　∴∠EAF=180°－2∠AFE．

　　又∵AB=AC，∴∠B=∠1．

　　又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，

　　∴2∠1=180°－2∠AFE，

　　∴∠1＋∠AFE=90°，

　　∴∠2=∠AFE，

　　∴DE//MC，

　　∴EF⊥BC．

　　小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．

证明4：

　　过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．

　　∵AE=AF，

　　∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．

　　又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，

　　∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，

　　∴∠1=∠B，∴EN//BC，

　　∴EF⊥BC．

　　小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．

证明5：

　　过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．

　　又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，

　　∴∠1=∠2．

　　又∵AB=AC，∴∠B=∠3，

　　∴∠B=∠P，∴EB=EP，

　　∴EF⊥BC．

　　大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．

证明6：

　　∵AE=AF，

　　∴∠1=∠E．

　　又∵∠2=∠1＋∠E，

　　∴∠2=2∠E．

　　又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

　　∴∠2=180°－2∠B，

　　∴2∠E=180°－2∠B，

　　即∠E＋∠B=90°，

　　∴∠3=180°－90°=90°，

　　∴EF⊥BC．

例3、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．

　　（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．

　　（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．

分析：

　　这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．

解：

　　（1）①③，①④，②③，②④．

　　（2）选择①④来证明结论成立．

　　已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．

　　求证：△ABC是等腰三角形．

　　证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．

　　又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，

　　∴AB=AC．

　　∴△ABC为等腰三角形．

例4、如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F．过F作DE//BC，交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．

证明：

　　∵DE//BC，

　　∴∠2=∠3．

　　又∵∠1=∠2，

　　∴∠1=∠3，∴DB=DF．

　　同理可证：EF=EC，

　　∴BD＋EC=DF＋EF．

　　即BD＋EC=DE．

例5、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．

证明：

　　取AB的中点E，连结DE．

　　∵AD=BD，

　　∴DE⊥AB，

　　∴∠3=90°．

　　又∵AB=2AC，AB=2AE，

　　∴AE=AC．

　　又∵∠1=∠2，AD=AD，

　　∴△AED≌△ACD，

　　∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°，

　　∴CD⊥AC．

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