一周强化

一、一周知识概述

1、等边三角形的定义及其性质

　　（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．

　　（2）性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．

　　（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．

　　　　　　　 ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．

2、含30°角直角三角形的性质

　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

3、三角形中的边角不等关系

　　（1）在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大．

　　（2）在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．

指出：

　　（1）等边三角形的性质揭示了等边三角形的特殊性，所有的边相等，所有的角相等；

　　（2）等边三角形的定义和判定说明了证明一个三角形是等边三角形有三条途径：

　　　　①证明三条边相等；

　　　　②证明三个角相等；

　　　　③证明该三角形是等腰三角形且有一个角为60°．

　　（3）该性质揭示了30°角直角三角形的边的数量关系的特殊性．

　　（4）该性质的逆命题也是真命题．

　　（5）该性质主要应用了计算和证明线段的倍分．

　　（6）三角形中的边角不等关系是证明在同一个三角形中边角不等关系的主要依据，当然也不能忽视三角形三边关系定理以及三角形内角和定理的推论．

4、本章主干知识梳理

二、重难点知识归纳

　　等腰三角形有关性质、判定的应用（包括等边三角形）．

三、典型例题剖析

例1、如图（1），点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．

　　（1）求证：AN=BM；

　　（2）求证：△CEF是等边三角形；

　　（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题结论是否仍然成立（不需证明）．

分析：

　　易证△ACN ≌△BCM得AN=BM，∠1=∠2，再证△BCF ≌△NCE，得CE=CF，又知∠ECF=60°，在（3）中补充完整后发现结论（2）不再成立．

证明：

　　（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，

　　　　 ∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，

　　　　 ∴∠ACN=∠MCB，∴△ACN≌△MCB，

　　　　 ∴AN=BM．

　　（2）由△ACN≌△MCB得∠1=∠2．

　　　　 又CN=CB，∠BCF=∠NCE=60°，

　　　　 ∴△BCF≌△NCE，∴CE=CF．

　　　　 又∠ECF=60°，∴△ECF为等边三角形．

　　（3）补出图形如图．

　　　　AN=BM仍然成立．

　　　　△CEF是等边三角形不成立．

例2、如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．求AD的长．

分析：由已知条件易知△ABE≌△CAD，从而 AD=BE，只须求BP长即可，由BQ⊥AD知，若在Rt△BPQ中有∠PBQ＝30°，就可求出BP的长，于是求证∠BPQ＝60°为问题的突破口．

证明：∵△ABC为等边三角形，

　　　∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．

　　　又AE=CD，∴△ABE≌△CAD，

　　　∴∠ABE=∠CAD，BE=AD，

　　　∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，

　　　∴∠PBQ=30°．

　　　又BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=6，

　　　∴BE=PB＋PE=7，

　　　∴AD=BE=7．

例3、已知AB>AC，AD为角平分线，求证：CD＜BD．

分析：要比较CD与BD的大小，必须把CD和BD集中到以它们为边的三角形中来，然后利用大角对大边证之．

证明：如图，在AB上截取AM=AC，连接D、M．

　　　∵∠1=∠2，AD=AD，

　　　∴△AMD≌△ACD，

　　　∴MD=DC，∠5=∠7，∠3=∠C．

　　　在△ABC中，∵AB>AC，

　　　∴∠C>∠B，

　　　即∠6>∠5=∠7＞∠B．

　　　∴BD>DM，即BD>CD．

例4、如图，已知△ABC中，AB=AC，AB、AC的垂直平分线DF、EG分别交BC、CB的延长线于F、G．求证：∠1=∠2．

分析：遇到线段垂直平分线和等腰三角形，首先考虑运用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，寻求最简捷的解题途径．

证明：因为AB=AC，所以∠4=∠5．

　　　因为DF、EG分别为AB、AC的垂直平分线，

　　　所以AF=BF，AG=CG，

　　　所以∠1＋∠3=∠5，∠2＋∠3=∠4．

　　　所以∠1＋∠3=∠2＋∠3．

　　　所以∠1=∠2．

例5、如图，在△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于P，交AC于Q．判断△APQ的形状，并证明你的结论．

解：△APQ是等腰三角形．证明如下：

　　因为AB=AC，所以∠B=∠C．

　　因为PD⊥BC，所以∠P＋∠B=90°，∠2＋∠C=90°，

　　所以∠P=∠2．

　　又因为∠1=∠2，所以∠P=∠1．

　　所以AP=AQ．

　　所以△APQ为等腰三角形．

例6、（2003，河南）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为E，BF//AC交CE的延长线于点F．

求证：AB垂直平分DF．

证明：因为∠ACB=90°，AC=BC，

　　　所以∠1=45°．

　　　因为BF//AC，所以∠1＋∠2＋∠ACB=180°．

　　　所以∠1＋∠2=90°．

　　　所以∠1=∠2=45°．

　　　因为∠3＋∠4=90°，∠4＋∠5=90°，

　　　所以∠3=∠5．

　　　在△ACD和△CBF中，∠3=∠5，AC=CB，∠ACD=∠CBF=90°，

　　　所以△ACD≌△CBF（SAS）．

　　　所以CD=BF=BD．

　　　因为BD=BF，∠1=∠2，

　　　所以AB垂直平分DF（等腰三角形三线合一）．

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