一周强化

一、一周知识概述

1、单项式

　　⑴单项式：像，它们都是数或字母的积，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

　　⑵单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。如的系数分别是4和－1。

　　⑶单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。如的次数分别是1和3。

指出：

　　⑴单项式中的数与字母或字母与字母之间都是乘积关系，如可以看成是，所以是单项式，而就不是单项式。

　　⑵如果一个单项式只含有字母因数，它的系数是1或－1。

　　⑶单项式中若字母没写指数时，它的次数是1，而不是0，如中字母的指数是1，不是0。

2、多项式

　　⑴多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项，一个多项式有几项就叫做几项式。

　　⑵多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。

指出：

　　⑴多项式的每一项都包括它前面的符号，如第一项是，第二项是，而不是，常数项是－7，而不是7。

　　⑵由于多项式是由单项式组成，每一个单项式的次数就是各项的次数，多项式的次数仅指次数最高的那个单项式的次数，即多次式的次数就高不就低。

3、整式

　　整式：单项式和多项式统称整式，即

　　

4、同类项

　　⑴同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。

　　⑵合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项。

指出：

　　⑴判断几个单项式(或多项式中的项)是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同，同时具备这两个条件者是同类项，二者缺一不可。

　　⑵同类项与系数无关，与字母的排列无关。

　　⑶几个常数项也是同类项。

　　⑷合并同类项应注意：①只能把同类项合并成一项，不是同类项不能合并；②如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；③只要不再有同类项，就是最后结果，结果可能是单项式，也可能是多项式。

5、整式的加减

　　几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，合并同类项。

指出：

　　⑴整式加减的一般步骤归纳为三步：①列出算式；②去括号；③合并同类项。

　　⑵整式加减的实质就是合并同类项。

　　应用整式的加减进行化简求值，一般先将代数式进行去括号、合并同类项，再代入字母的值进行计算，可简单地记为“一化二代三算”。

二、重难点知识归纳

　　整式的有关概念是重点。

　　整式的加减既是重点，又是难点。

三、典型例题剖析

例1、指出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数：

　　。

分析：

　　判定一个代数式是否是单项式，关键就是看式子中的数与字母或字母与字母之间是不是乘积关系，如果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式。

解：

　　是单项式。

　　的系数是，次数是3。

　　的系数是－1，次数是1。

　　的系数是，次数是7。

　　的系数是－3，次数是6。

例2、下列代数式，哪些是多项式，并指出它是几次几项式。

　　⑴；　　　　　⑵；

　　⑶；　　⑷。

分析：

　　⑴判断一个代数式是不是多项式，首先根据多项式的概念，考虑它是不是几个单项式的和。

　　⑵判断一个多项式是几次几项式，首先看哪一项的次数最高，这一项的次数就是这个多项式的次数，再看这个多项式所含的项数，有几项就是几项式。

解：

　　，是多项式；

　　是四次三项式；

　　是四次四项式。

例3、把下列各代数式填入相应的大括号里：

　　。

　　单项式集合：｛　　　　　　　　　　｝；

　　多项式集合：｛　　　　　　　　　　｝；

　　整式集合：｛　　　　　　　　　　　｝。

分析：

　　分母中含有字母的式子，一定不是单项式，也不是多项式，所以它也一定不是整式，故首先应排除，再根据是否含有加减运算来判别它们是单项式还是多项式。

解：

　　单项式集合：

　　多项式集合：

　　整式集合：

例4、⑴已知是关于的六次单项式，求字母的值。

　　⑵多项式是关于的三次三项式，求代数式的值。

分析：

　　⑴由单项式的次数的定义可知应等于6，解此方程即可求出的值，另注意。

　　⑵应分类讨论，即当和都满足题意。

解：

　　⑴因为是关于的六次单项式，所以 ，解得。

当时，，此单项式不是关于的六次单项式，故，∴。

　　⑵当时，则，此时为三次三项式，所以当时，的值为0。

　　当时，则，此时为三次三项式，所以当时，的值为4。

　　所以的值为0或4。

例5、合并下列多项式中的同类项：

　　

分析：

　　先找出多项式中的同类项，然后根据合并同类项的法则进行合并。

解：

　　

　　=

　　=

　　=

例6、计算

　　⑴；

　　⑵

分析：

　　第⑴题按照基本步骤，先去括号，再合并同类项；第⑵题中有数乘多项式，先利用分配律将数乘遍各项，再去括号，合并同类项。

解：

　　⑴原式=

　　=

　　=

　　⑵原式=

　　=

　　=

例7、已知，求代数式的值。

分析：

　　由及和的非负性可得，，即，，故，对于求代数式的值，只需按照化简求值的基本步骤解答。

解：

　　

　　=

　　=

　　∵

　　∴

　　∴

　　∴原式

例8、如图是一个长方形娱乐场所，其宽为，长是，现要求这个娱乐场所有一半以上的绿地，小明提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地，请你判定他的设计方案符合要求吗？

分析：

　　图中的绿地面积=长方形面积―游泳区的面积―半圆形的面积

解：

　　

　　=

　　=

　　所以小明的设计符合要求。

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