一周强化

一、一周知识概述

1、反比例函数

　　一般地，形如的函数（k≠0，k为常数）叫做反比例函数．

2、反比例函数的图象

　　反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中，自变量x≠0，函数y≠0，所以它的图象与x轴和y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

3、反比例函数的图象与性质

4、用待定系数法求反比例函数的解析式

　　反比例函数图象上的点的坐标满足函数关系式；满足函数关系式的一对x、y值对应的点在其函数图象上，因此，已知反比例函数图象上一个点的坐标，就能用待定系数法确定其解析式．

二、重点难点疑点突破

1、反比例关系与反比例函数的区别与联系

　　（1）小学数学中讲述当矩形的面积S一定时，矩形的长a与宽b成反比例关系，那时所说的a与b均为常数．现在我们所说的反比例函数（k为非零常数），这时的x与y均为变量．但它们有一个共同的特点：ab=S，xy=k，即其积为一个常数．

　　（2）成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如中，y＋5与z＋2成反比例，但y不是关于z的反比例函数；再如中，y与x2成反比例，但y不是关于x的反比例函数，因为这里的分母中，x的指数不是1．

2、正确认识反比例函数及其形式

　　当常数k≠0时，xy=k或y=kx－1是反比例函数的变形形式（隐函数形式）．

但通常写成显函数的形式．如不要写成1－xy=0，不要写成2xy＋3=0．

3、反比例函数的图象与性质

　　（1）反比例函数图象的位置是：当k>0时，x、y同号，图象为第一、三象限的两支曲线；当k<0时，x、y异号，图象为第二、四象限的两支曲线，故又称反比例函数为双曲线．

　　（2）若点(a，b)在反比例函数的图象上，则点(－a，－b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称．

　　（3）对于k>0，当x取正值且越来越大时，y也取正值但越来越小，所以这时反比例函数的图象在第一象限越来越接近x轴（但不与x轴相交）；当x取正值越来越小时，y也取正值但越来越大，这时其图象在第一象限内越来越接近y轴（但不与y轴相交）．其图象如图（甲）所示．依对称性不难知道其图象在第三象限内的变化趋势．

　　对于k<0的情况，类似可得，其图象如图（乙）所示．

4、反比例函数中的比例系数k的几何意义

　　依反比例函数的表达式，我们不难得到k=xy(k≠0)，如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|．

　　即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线，则两垂线线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k|，且这个面积的值与取点的位置无关．

三、解题方法技巧点拨

1、利用反比例函数的定义确定函数解析式

例1、当m=________时，函数是反比例函数．

解：

　　∵是反比例函数，

　　∴m2－5=－1，即m2＝4，∴m＝2或m＝－2．

　　又m＋2≠0，故m≠－2．

　　∴m=2时，y=4x－1=为反比例函数．故填m=2．

点拨：

　　若称y=kxn是反比例函数，则依反比例函数的定义，必须满足两个条件：①n=－1；②k≠0．两个条件缺一不可．

2、利用反比例关系解题

例2、已知y与x－1成反比例，且当x=时，y=，那么当x=2时，y的值为______．

解：

　　设，即k=(x－1)y(k≠0)．

　　将x=，y=代入，得．

　　∴，当x=2时，．

点拨：

　　两个变量的代数式之间成反比例关系时，也涉及到先确定其反比例的系数k的问题，这一点与反比例函数极其相似．

3、用待定系数法来确定反比例函数解析式

例3、已知一次函数y=2x－k的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为－4．求这两个函数的解析式．

解：

　　依题意知，在这个交点处y=－4，故有

　　

　　检验知，k=1符合题意．

　　故一次函数的解析式为y=2x－1；反比例函数的解析式为．

点拨：

　　待定系数法是确定函数解析式的一种常用方法，在一次函数中我们已经学习过，跟正比例函数y=kx一样，由于反比例函数中只有一个系数k待定，通常只需知道图象过某一点就可以待定出系数k来．而本例只给出一个点的一个坐标，通过反比例函数与一次函数的交点，用联立方程组来待定k和另一坐标x，这都是待定系数法确定函数解析式的常用方法．

例4、如图，一次函数y=kx＋b的图象和反比例函数的图象相交于A、B两点．

　　（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

　　（2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围．

分析：

　　由图象知，一次函数和反比例函数的图象都经过A（－2，1）、B（1，n）．可先把A（－2，1）的坐标代入反比例函数中，求出反比例函数解析式，再将 B（1，n）代入所求反比例函数解析式中，求出n的值，然后将A（－2，1）、B（1，n）的坐标分别代入一次函数解析式，求出k、b的值，也可以将A（－2，1）、B（1，n）的坐标分别代入一次函数和反比例函数解析式，列出一个方程组，然后解方程组求出待定系数的值，从而得出函数解析式．

解：

　　（1）方法1：把x=－2，y=1代入，∴m=－2．

　　∴反比例函数的解析式为．

　　把x=1，y=n代入中得，

　　即B点坐标为（1，－2）．

　　将点A、B坐标代入y=kx＋b，得

　　解这个方程组得

　　∴一次函数解析式为y=－x－1．

　　方法2：因为A、B两点都在双曲线和直线y=kx＋b上．

　　∴，1=－2k＋b，n=k＋b，

　　解这个方程组得m=－2，n=－2，k=－1，b=－1．

　　∴反比例函数的解析式为，一次函数解析式为y=－x－1．

（2）由图象和（1）知，反比例函数和一次函数图象的交点坐标为（－2，1），（1，－2）即x=－2或x=1时，一次函数和反比例函数值相等，当x＜-2或0＜x＜1时一次函数值大于反比例函数的值．

4、利用反比例函数中xy为常数来解题

例5、如图，A、C是函数的图象上的任意两点，过A点作x轴的垂线，垂足为B；过C点作y轴的垂线，垂足为D．记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则（）

A．S1>S2

B．S1=S2

C．S1<S2

D．S1与S2的大小关系不能确定

解：

　　S1=|OB|·|AB|=|xA|·|yA|=，

　　S2=|CD|·|OD|=|xC|·|yC|=．

　　∴S1=S2．故选B．

点拨：

　　因为点A、C在反比例函数的图象上，所以xy=1．此题是利用反比例函数中xy=k（常数）来解题．

5、正、反比例函数的图象的两个交点关于原点对称

例6、已知正比例函数y=kx与反比例函数的图象都过点A（m，1），求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标．

解：

　　∵的图象过点A（m，1），∴m=3．

　　将A（3，1）坐标代入y=kx，得．

　　∴此正比例函数的解析式为．

　　∵正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称的，

　　∴其交点也是关于原点对称的，故另一个交点的坐标是（－3，－1）．

点拨：

　　这里指出了，因为正比例函数y=k1x的图象和反比例函数(k1k2≠0)的图象都关于原点对称，所以它们的两个交点关于原点对称．

拓展：

　　（1）反比例函数(k≠0)的图象与一次函数y=ax＋b(b≠0)的图象的两个交点关于原点对称吗？

　　（2）本例还有其他解法没有，试试看．

6、不可忽视反比例函数中k的符号功能

例7、已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的值为_______．

解：

　　∵y是反比例函数，∴3－m2=－1，即m2=4．

　　又∵此反比例函数的图象在第二、四象限，

　　∴m－1<0，即m<1．

　　解方程组得m=－2．

点拨：

　　对反比例函数，若其图象在第一、三象限，则x、y同号，k>0；若其图象在第二、四象限，则x、y异号，k<0，反之亦然．这就是k的符号功能．

　　在解有关正、反比例函数及一次函数问题时，若能做到眼中有式（函数解析式），脑中有图（函数的图象），数与形紧密结合，解题时就能灵活自如了．

例8、已知反比例函数，当x<0时，函数y随x的增大而减小，求非负整数m的值．

分析：

　　因为反比例函数y随x的增大而减小，所以函数图象分布在第一、三象限，故3－2m>0．

解：

　　依题意得

　　3－2m>0，即．

　　又∵m为非负整数，∴m为1或0．

方法规律：描述函数的增减性，必须指出“在每一个分支（象限）内”，若在同一个象限内，则可直接比较，如果是跨象限比较时，只能根据图象进行比较，不能生搬硬套．

例9、在函数(a为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)则函数值y1，y2，y3的大小关系是（）

A．y2<y3<y1　　　　　　　　　　　　B．y3<y2<y1

C．y1<y2<y3　　　　　　　　　　　　D．y3<y1<y2

分析：

　　∵是反比例函数，

　　且－a2－1=－(a2＋1)<0，

　　∴双曲线分布在第二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大．

　　∵(－3，y1)和(－1，y2)在第二象限，且－3<－1，

　　∴y1<y2．又∵(2，y3)在第四象限，

　　∴y3<y1，y3<y2．故可知它们的大小关系．

答案：D．

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