函数及其图象（ 1 ）

同步教学

一、一周知识概述

本周学习内容为第十七章函数及其图象中的第一节变量与函数；第二节函数的图象；第三节一次函数 .

二、重、难点知识的归纳与剖析

（一）、常 量与变量

　　在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量（variable）.取值始终保持不变的量叫做常量（constant）.

（二）、函数

　　在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，就说x是自变量(independent variable)，y是x的函数（function）.

（三）、函数关系的三种表示方法

1、解析法；

2、列表法；

3、图象法.

一个函数关系可以同时用三种方法表示.

（四）、平面直角坐标系

1、在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，就建立平面直角坐标系
　 （right angled coordinate system）.

2、平面直角坐标系中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向
　 上为正方向；两轴交点O叫做坐标原点，这个平面叫做坐标平面.

3、在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域，分别称第一、二、三、四象限. 坐标轴上的点不
　 属于任一个象限.

（五）、点的坐标

1、平面上的点的坐标是由两个有序实数组成，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”号隔开.

2、点的坐标的特点：

①x轴上方的点的纵坐标为正数，x轴下方的点的纵坐标为负数；y轴左侧的点的横坐标为负数，y轴右
　边的点的横坐标为正数；

②坐标原点的坐标记作 (0,0)；

③ x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0；

④坐标平面内的点的特征是：一象限 (＋,＋)，二象限(－,＋)，三象限(－,－)，四象限(＋,－).

（六）、坐标平面内的点与有序实数对的对应关系

　　对于平面内一点M，都有唯一的一对有序实数(x,y)和它对应；对于任意一对有序实数(x,y)，在坐标平面内都有惟一点M和它对应，即坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

（七）、对称点的坐标

1、点P(m,n)关于x轴的对称点是P1(m,－n)；点P(m,n)关于y轴的对称点是p2(－m,n)；点P(m,n)关于原点
　 的对称点是P3(－m,－n).

2、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：

①点P(m,n)在第一、三象限的夹角平分线上，则m=n；

②点 P(m,n)在第二、四象限的夹角平分线上，则m=－n.

（八）、函数的图象

　　对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内就有一个相应的点，由这样的点的全体组成的图形叫做函数的图象.

　　函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线、抛物线等，它形象直观地反映了两个变量之间的对应关系.

　　函数图象的读图与识图的关键是弄清函数图象上的点的意义——即横坐标与纵坐标的意义.

（九）、用描点法作函数图象的一般步聚

1、列表：列表给出自变量的函数的一些对应值；

2、描点：以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；

3、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连起来.

（十）、一次函数

1、一般地，如果y=kx＋b(k,b为常数，k≠0)，那么，y叫做x的一次函数（linear function）.

2、特别地，当b=0时，一次函数y=kx＋b就成为y=kx(k为不等于0的常数)，这时y叫做x的正比例函数
　 （direct proportional function）.

3、判断一个函数是否是一次函数，就是要看其能否化成y=kx＋b(k≠0,k,b为常数)的形式.正比例函数是
　 一次函数的特殊形式.

（十一）、一次函数的图象

1、一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，通常也称直线y=kx＋b.由于两点确定一条直线，故画一次
　 函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点
　 (0,b)和.

2、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线.通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图象只需
　 取一点(1,k)，然后过原点和这一点画直线.

3、直线y=kx＋b(k≠0)中，k和b决定着直线的位置.

（1）k﹥0，b﹥0直线经过一、二、三象限；

（2） k﹥0，b﹤0直线经过一、三、四象限；

（3）k﹤0，b﹥0直线经过一、二、四象限；

（4）k﹤0，b﹤0直线经过二、三、四象限；

4、直线y=kx＋b的图象可由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位得到.

5、两条直线，当k值相同时，两直线平行；当b值相同时，两直线交于y轴上同一点.

6、求两条直线y=k1x＋b1,y=k2x＋b2的交点坐标的方法是解方程组求得的x，y的值即分
　 别为两条直线的交点的横坐标、纵坐标.

（十二）、一次函数的性质

　　一次函数y=kx＋b，当k﹥0时，y随x增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；当k﹤0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

（十三）、待定系数法

　　是求函数的解析式最常用的方法，具体作法是先设出待求函数的解析式，再将已知的自变量和函数的对应值代入，解方程或方程组，求出待定的未知系数.在实际问题中，要注意考虑自变量x的取值范围.

[难点]：

1、初步掌握函数的概念.

2、形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.

3、坐标平面内特殊位置的点的坐标的特征.

4、较复杂的函数图象的画法，判定点是否在函数图象上的方法的理解.

5、求一次函数的解析式与自变量的取值范围.弄清所给信息，准确画出图象，解决实际问题.

[应注意的问题]：

1、变量和常量是相对的，对不同的过程而言，其中的变量和常量不相同，特别注意字母π，它是一个常数.

2、判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对于x的每一个值，y是否都有
　 惟一的值与它对应.如(x≥0).当x取一个正值时，y有两个值与它对应，y不是x的函数.

3、两个函数解析式要表明的是同一个函数，必须同时满足以下两个条件：

（1）自变量的取值范围相同；

（2）从自变量到函数对应的规律相同.

4、求实际问题中的函数解析式，实质是建立两个变量间的等量关系，要注意自变量在取值时考虑它所代
　 表的事物的实际属性.

5、坐标(3,2)和(2,3)是两个不同的有序实数对，它们表示不同的点，不能错写顺序.

6、点没有大小，只有位置，其位置通过一对有序实数来表示，在学习时要注意加深对数形结合思想的理
　 解. 如点A(－4,－3)的坐标均为负值，但点A到x轴，y轴的距离都是正值，即等于坐标的绝对值.

7、实际问题中的函数图象可以是直线、曲线，也可能是线段、射线等，这取决于自变量的取值范围.

8、用描点法作函数的图象要注意以下三点：

（1）列表时要根据自变量的取值范围取值，取值要有代表性，x值的排列由小到大；

（2）描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图象越准确；

（3）连线要用光滑的曲线把所描的点的连结起来.

三、例题讲解

例1、已知点A(6－5a,2a－1)，（1）若点A在第二象限，求a的取值范围；（2）当a为实数时，点A能否在第三
　　 象限，试说明理由.

[解答]

例 2、已知函数y=2x－3，求

（1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标

（2）x取什么值时，函数值是正数，大于1？

（3）若该函数图象和y=－x＋k的图象的交点在第四象限，求k的取值范围.

（4）求y=2x－3的图象与两坐标轴围成的三角形的面积.

[解答]

例3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：

（1）y=2x＋1与y=2x＋3；

（2）y=－2x＋1与y=－2x.

[解答]

例 4、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,设P为BC上任一点，P点不与B、C重合，且CP=x，
　　 若y=S△APB.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）求自变量x的取值范围.

[解答]

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