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平行四边形
同步教学
一、一周知识概述
本周主要复习第 12章第1节的内容，即平行四边形的特征。平行四边形是人们日常生活和生产实践中应用比较广泛的一种几种图形，它是在学过的平行线和三角形、四边形等知识的基础上来学习的，是已学知识的应用和深化，同时也是学习相似形和圆的基础，它起到承上启下的作用，同时本章渗透了多种数学思想方法，如：类比、分类、转化、方程、对称变换、旋转变换、平移变换等思想方法。
而本章的重点又是特殊四边形的概念、特征和识别方法，因此必须掌握好平行四边形的特征和识别方法。
二、重难点知识的归纳与剖析
（一）、本节知识归纳
1、平行四边形的定义
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（parallelogram）。这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行，二者缺一不可。
（2）平行四边形的表示：平行四边形用符号“□” 表示，平行四边形ABCD记作□ABCD。
2、平行四边形的特征
（1）从边看：平行四边形的对边平行且相等。
（2）从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补。
（3）从对角线看：平行四边形的对角线互相平分。互相平分指两条线段有公共的中点。
平行四边形的特征为我们提供了证明线段平行，相等以及角相等的新思路。
注意：对边、对角、邻边、邻角的说明。
对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同，在三角形中对边是指一角的对边，对角是指一边的对角，而四边形中对边是指不相邻的边，也就是没有公共顶点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指四边形中有公共顶点的边，邻角是指四边形中有一条公共边的两个角。
3、两条平行线之间的距离
（1）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
如图所示，L1∥L2，AB⊥L2，垂足为B，则线段AB的长即是L1与L2之间的距离。理解这
个概念时应该注意：①可以从任一条平行线中选取一点作另一条平行线的垂线段。因为 CD既不与L1垂直，也不与L2垂直，所以CD的长不是L1与L2之间的距离。
②垂线段的长度才叫两条平行线间的距离，不能说垂线段 AB叫两条平行线间的距离，因为距离是数量，而垂线段是图形，两条平行线间的距离实际上是点到直线的距离。
（2）平行线之间的距离处处相等。
（3）推广：夹在两平行线间的平行线段相等。如图所示，L1∥L2，AB∥CD，则AB=CD。
4、平行四边形的面积
（1）平行四边形的面积等于它的一边与这一边上的高的积。如图：
S□ABCD=BC·AE=AB·CF，它的证明可以用S□ABCD=S△ABC＋S△ADC，利用面积关系可以建立多条线段之间的数量关系。
（2）同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等。
（3）如图所示，若P点为ABCD的边上AD上任意一点，则S△ABP＋S△DCP=S△PBC=
S□ABCD，
当P为AD的中点时，S△ABP=S△DCP。
（二）、重难点及考点
重点：平行四边形的特征，平行四边形是整个四边形这一章的重点，也是全章的基础，掌握好这一节的内容对于学好全章知识起着至关重要的作用。
难点：灵活运用平行四边形的特征进行证明或计算。
考点：利用平行四边形的特征解决有关的证明或计算问题，是中考重点内容，出现频率较高，考题形式也是多种多样，如以选择、填空、计算、证明题的形式出现。
易错点和易忽略点：本节的易错点和易忽略点在于不能灵活运用平行四边形特征，有时在不具备条件时也应用了平行四边形的特征。要避免这些错误，做到认真审题，分清条件，灵活运用平行四边形的各个特征。
例 1、如图，已知□ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，求证：OE=OF。
[解析]
（三）、学法用法研究
1、有平行线时常作平行线构造平行四边形。
2、有以平行四边形一边中点为端点的线段时，常延长此线段。
3、两条平行线间的距离是用点到直线的距离来反映的，而点到直线的距离实质上是两点间的
距离，注意弄清三者之间的关系。例 2、已知，如图，P是以a为边长的等边△ABC内的一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，
求证：PD＋PE＋PF=a.
[解析]
三、例题点评
例 3、已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过O与AD、CB分别相交于E、F，求证：OE=OF.
[解析]
例 4、如图，△ABC中，AB=AC，点P是BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB，分别交AB、AC于E、F，试问线段PE、PF、AB之间有什么关系，试证明你的结论.
[解析]
例 5、已知，如图，在ABCD中，AD=2AB，延长AB到F，使BF=AB，延长BA到E，使AE=AB，连结CE和DF，交AD、BC于G、H，求证：CE⊥DF.
[解析]
例 6、已知，如图点E是□ABCD的对角线AC上任意一点，求证：S△BEC=S△CDE。
[解析]
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