解直角三角形（2）

同步教学

一、一周知识概述

本周主要学习第十九章中的第 4 节解直角三角形，通过本周的学习要求 .

1 、掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 .

2 、会用解直角三角形的知识解某些简单的实际问题，培养解决实际问题的能力和用数学的意识 .

二、重、难点知识概述

重点和难点

（一）直角三角形的解法，包括一些能用直角三角形解的斜三角形问题，它与日常生活中实际问题密不可分. 直角三角形（Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c）的边角关系可以归纳为：

（1）三边之间的关系： a2＋b2=c2 ；

（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°；

（3）边角之间的关系：

　　　　　　　　 　　

解直角三角形类型：

（1）已知两边可解直角三角形；

（2）已知一边和一锐角可解直角三角形 .

　　在解直角三角形时，不知道用正、余弦，还是正、余切，对初学者来说此处是一个难点 . 下面我们将解直角三角形的解法归纳如下：（在 Rt△ABC 中，∠C=90°）

（1）已知：一直角边和一锐角（如 a，∠A），其解法为：

∠B=90°－∠A，b=a·cotA

（2）已知一斜边和一锐角（如 c 和∠A），其解法为：

∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA，

（3）已知两直角边（如 a，b），其解法为：

∠B=90°－∠A.

（4）已知斜边和一直角边（如 c 和 a），其解法为：

由 sinA=，∠B=90°－∠A.

　　同时结合直角三角形的巧记方法来解，其含义是“当已知斜边时，就用正、余弦；无斜边时，用正、余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时应选用乘法；既可以由已知数据又可以用中间数据求得未知元素时 ，应用原始（即已知）数据，尽量避免用中间数据，因为中间数据可能错误，在题目中无直角三角形时，应通过作垂线（或连线，如连等腰三角形顶点和底边中点）构造出直角三角形，这是本节、本章的重要解题思路 .

（二）视角，方位角，坡度

1 、视角：视线与水平线的夹角叫视角，从下向上看，叫仰角；从上往下看，叫俯角 .

2 、方位角：目标方向与正北方向顺时针时的夹角 .

3 、坡面的铅垂高度和水平长度的比叫坡面的坡度，坡度越大，坡面就越陡 .

（三）注意的问题

1 、解实际问题的关键是寻求或构造直角三角形，常规辅助线是作垂线 .

2 、准确理解各概念的含义，学会几何建模 . 寻求解题途径 .

三、例题分析

例 1、如图，在△ABC 中， AB=AC ，它的一个外角为 80°，底角平分线长求腰上的高 .

[分析与解答]

例 2、如图，湖泊的中央有一个建筑物 AB ，某人在地面 C 处测得其顶部 A 的仰角为 60°，然后，自 C 处沿BC 方向行 100m 至 D 点，又测得其顶部 A 的仰角为 30°，求建筑物 AB 的高（精确到 0.01m，） .

[分析与解答]

例 3、今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位 . 一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在 A 处测得航标 C 在北偏东 60°方向上 . 前进 100m 到达 B 处，又测得航标 C 在北偏东45°方向上（如图） . 在以航标 C 为圆心， 120m 长为半径的圆形区域内有浅滩 . 如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（2003 年，哈尔滨）

[分析与解答]

例 4、为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为 1.2m ，下底宽为 2m ，坡度为1：0.8 的渠道（其横断面是等腰梯形） . 并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了 0.6m，如图所示 .

求（1）渠面宽 EF ；

　（2）修 200m 长的渠道需挖的土方数 .

[分析与解答]

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