数的开方

同步教学

一、一周知识概述

　　本周学习内容为数的开方。本章知识大体可分为三大块：第一大块是平方根与立方根的概念及求法；第二大块为二次根式的概念及其运算；第三大块是实数的概念及数轴的三要素及实数与数轴上的点之间的一一对应关系。

二、重、难点知识的归纳与剖析

（一）重点知识的归纳

1、平方根

　　如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a的平方根（square root），即如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作x=±，其中a叫被开方数.

2、平方根的性质

　　（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.如正数a的平方根是±，其中＋与－恰是一对相反数；

　　（2）零的平方根是零，即=0；

　　（3）负数没有平方根.

3、算术平方根

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根.

4、开平方

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算 .

5、立方根

　　如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做a的立方根（cube root），即如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作：x=.

6、立方根的性质

　　任何一个正数的立方根是一个正数，即a>0时，>0；

　　任何一个负数的立方根是一个负数，即a<0时，<0；

　　零的立方根仍是零，即a=0时，=0.

7、开立方

　　求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.

8、二次根式的定义

　　形如（a≥0）的式子叫二次根式.

9、二次根式有意义的取值范围

　　二次根式有意义的取值范围是被开方数必须是非负数 .

10、二次根式的性质

　　（1）≥0（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数.

　　（2）（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.

　　（3），即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

　　（4）当a≥0时，，即一个非负数的算术平方根的平方等于这个数的平方的算术平方根.

　　（5）当a≥0时，a=，即一个非负数等于它的算术平方根的平方.

11、二次根式乘除法法则

　　（a≥0，b≥0），即二次根式相乘就是把被开方数相乘，根指数不变.（a≥0，b>0），即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.

12、二次根式的性质

　　（1）积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于各个因式的算术平方根的积.

　　（2）商的算术平方根的性质：（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

13、最简二次根式

满足条件：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.

14、同类二次根式

n个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.

15、二次根式的加减法

　　先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 .

16、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算按运算顺序和运算法则进行计算，能用乘法公式的则宜用乘法公式 .

17、实数

有理数与无理数统称为实数（Real number）.

18、实数的分类

（二）本章难点剖析

1、平方根与算术平方根的区别及联系

区别：

　　（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.

　　（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.

　　（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.

　　（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.

联系：

　　（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

　　（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有。

　　（3）0的平方根、算术平方根均为0.

注意：

　　平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根.要特别注意.

2、立方根与平方根的联系及区别

两者联系：

　　（1）都与相应的乘方运算互为逆运算。开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算.

　　（2）在研究被开方数和方根的关系时，都有类似小数点的移动规律.

　　（3）零的立方根和平方根都是它本身.

两者区别：

　　（1）在用符号表示平方根时，根指数2可省略，而用符号表示立方根时，根指数3不能省略.

　　（2）只有非负数才有平方根，而立方根任何数都有.

　　（3）正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个.

　　（4）被开方数的小数点移动两位时，平方根的小数点向相同方向移动一位；被开方数的小数点移动三位时，立方根的小数点向相同方向移动一位.

3、应用算术平方根概念理解.

　　公式（a≥0）表明：一个非负数的算术平方根的平方还是等于这个数.这个式子反过来也可以写成：a=（a≥0）.它表明：一个非负数可以写成它的算术平方根的平方.

4、实数与数轴上的点一一对应是指：

　　（1）每一个实数都可以用数轴上的点来表示；

　　（2）数轴上的每一个点都表示一个实数.

（三）学习中应注意的问题

1、负数没有平方根；

2、的非负性，即当a≥0时，≥0，非负数的算术平方根一定是非负数；

3、用计算器求一个正数的平方根应注意精确度，或根据精确度取近似数.

4、立方根不同于平方根的负数没有平方根，负数同正数一样都有一个立方根.

5、立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外，即.因此，求负数的立方
　 根，可以转化为求其相反数的立方根.

6、注意的值的性质应根据a的正、负性确定.即a>0时，>0；a=0时，=0；a<0时，<0.

7、用计算器求立方根时，应注意精确度，或根据精确度取近似数.

8、二次根式中要特别注意字母的取值范围，即二次根式有意义的取值范围——被开方数必须是非负数.

9、二次根式的性质的应用和逆向应用.

10、求代数式中使代数式有意义的字母的取值范围应考虑各部分都有意义的取值范围.

11、二次根式的乘法可以推广，即（a≥0，b≥0，c≥0）.

12、根号内能开得尽方的因式可以移至根号外，反之移至根号外的因式也可以移至根号内，但应注意，
　　 根号外的因式必须是非负数.如：5

13、二次根式的化简的最后结果必须化成最简二次根式.

14、最简二次根式的两个条件中都是指因数和因式.

15、判断几个二次根式是不是同类二次根式，前提是将其化简成最简二次根式.

16、二次根式的加减是把同类二次根式合并，不是同类二次根式则不能合并.

三、例题讲解

例1、已知互为相反数，求a，b的值.

[分析与解]

例2、计算

　　（1）

　　（2）

　　（3）

[分析与解]

例3、比较下列各组里两式的大小

　　（1）

　　（2）

[分析与解]

例4、计算

　　

[分析与解]

例5、计算

　　

[分析与解]

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