1、平方差公式
由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a2－b2.
即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
注意：(1)平方差公式的特征：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式两项的平方差，并且是完全相同的项的平方减去互为相反数项的平方.
(2)运用公式时除了掌握其结构特征外，还应注意如下几点：①公式中的a，b具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母，一个单项式，还可以表示一个多项式；②运用公式时关键是识别两个数，哪个是完全相同的，哪个是互为相反数.
（3）平方差在简便运算中的应用
当问题中的两因数不是两数和与两数差的积的形式时，可适当变形，使之符合公式的特点，从而能运用公式达到巧算的目的.
2、完全平方公式
由多项式乘法得到（a±b）2=a2±2ab+b2
即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.
推广形式：（a+b+c）2=a2+b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
注意：(1)完全平方公式的结构特征：①公式的左是两个相同的二项式相乘，即两个数和(或差)的平方；②公式的右边是一个三项式，其中两项是左边的二项的平方和，第三项是左边两项的积的2倍，但符号与左边的符号相同.
(2)公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.
（一）分清a、b，正确运用
例1、计算：
(1)(3a＋2b)(2b－3a);
(2)(x－2y)(－x－2y);
(3)
;
(4)(a＋b＋c)(a－b－c)
分析：
相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.
第(1)题的相同项是2b，相反项是3a与－3a.
第(2)题可以按第(1)题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算.
第(3)题应先计算
，恰好可以运用平方差公式，所得的积再与
相乘，又恰好能再用平方差公式计算.
第(4)题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式.
解：(1)原式＝(2b ＋3a)(2b－3a)
＝(2b)2－(3a)2
＝4b2－9a2
(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x)
＝(－2y)2－x2
＝4y2－x2
(3)原式＝
＝
＝
(4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]
＝a2－(b＋c)2
＝a2－(b2＋2bc＋c2)
＝a2－b2－2bc－c2
例2、计算：
(1)98×102；(2)99×101×10001.
分析：
将98写成100－2，102写成100＋2，第(1)题即能用平方差公式计算；同理将99写成100－1，101写成100＋1，第(2)题也可用平方差公式计算：
解：(1)98×102＝(100－2)(100＋2)
＝10000－4＝9996
(2)99×101×10001＝(100－1)(100＋1)×10001
＝(10000－1)(10000＋1)
＝100000000－1＝99999999
（二）适当变形，灵活运用
例3、计算：
(1)20042－19962
(2)(x－y＋z)2－(x＋y－z)2
(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)．
分析：
由于2004与1996的和是一个特殊数，(x－y＋z)和(x＋y－z)的和为一个单项式，所以此类问题总是可逆用平方差公式，(2x＋y－3)和(2x－y－3)中相同项和相反项分组用公式．
解：(1)20042－19962＝(2004＋1996)(2004－1996)
＝4000×8＝32000
(2)(x－y＋z)2－(x＋y－z)2
＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]
＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz
（3）(2x＋y－3)(2x－y－3)=[(2x－3)＋y][(2x－3)－y]
=(2x－3)2－y2=4x2－12x＋9－y2
=4x2－y2－12x＋9；
例4、计算
（1）(2x+y－z+5)(2x－y+z+5)；
（2）(x+y)2－2(x+y)(x－y)+(x－y)2
分析：
（1）两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．
（2）若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x＋y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．
解：（1）原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕
=(2x+5)2-(y-z)2
=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．
（2）原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．
例5、计算：
(1)(3x＋4y)2; (2)(－3＋2a)2；
(3)(2a－b)2； (4)(－3a－2b)2
分析：
运用两数和的平方公式应正确理解公式的特征，公式的左边是一个二项式的平方，显然四个小题都可以用完全平方公式，在运用公式时注意分清是用两数和，还是两数差.
解：
(1)原式＝(3x)2＋2·3x·4y＋(4y)2
＝9x2＋24xy＋16y2
(2)原式＝(－3)2＋2·(－3)·2a＋4a2
＝4a2－12a＋9
(3)原式＝(2a)2＋2·2a·(－b)＋(－b)2
＝4a2－4ab＋b2
(4)原式＝[－(3a＋2b)]2
＝(3a＋2b)2
＝(3a)2＋2·(3a)·2b＋(2b)2
＝9a2＋12ab＋4b2
例6、已知：a+b=5，ab=2，求：(a－b)2的值．
分析：
由完全平方公式得(a+b)2－(a－b)2=4ab，则(a－b)2=(a＋b)2－4ab．
解：∵a+b=5，ab=2
∴(a－b)2=(a+b)2－4ab=52-4×2=17．
例7、计算下列各题：
(1)(－2x－7)(－2x＋7);
(2)(3x－y)(y＋3x)－2(4x－3y)(4x＋3y);
(3)(m＋1)2－5(m＋1)(m－1)＋3(m－1)2;
(4)(2x＋3y－1)(1＋2x－3y)＋(1＋2x－3y)2
解：(1)原式＝(－2x)2－72＝4x2－49
(2)原式＝(3x)2－y2－2(16x2－9y2)
＝9x2－y2－32x2＋18y2
＝－23x2＋17y2
(3)原式＝m2＋2m＋1－5m2＋5＋3m2－6m＋3
＝－m2－4m＋9
(4)原式＝[2x＋(3y－1)][2x－(3y－1)]＋[2x＋(1－3y)]2
＝4x2－(3y－1)2＋4x2＋4x(1－3y)＋[－(3y－1)]2
＝8x2－(3y－1)2＋4x－12xy＋(3y－1)2
＝8x2＋4x－12xy
例8、(1)计算19902－19892＋19882－19872＋…＋22－12；
(2)化简(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)．
分析：
观察其特点，（1）中相邻两项符合逆用平方差公式，一个因式为1，另一因式为两数和；（2）中配凑一个（3-1），可反复运用平方差公式．
解：
（1）原式=(19902－19892)＋(19882－19872)＋…＋(22－12)
=(1990＋1989)(1990－1989)＋(1988＋1987)(1988－1987) ＋…＋(2＋1)(2－1)
=1990＋1989＋1988＋1987＋…＋2＋1
=
(1990＋1)×1990=
×1991×1990=1981045；
(2)原式=
(3－1)·(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)
=
(32－1) (32＋1)(34＋1)(38＋1)
=
(34－1)(34＋1)(38＋1)
=
(38－1)(38＋1) =
(316－1)．
