一周强化

一、一周知识概述

1、勾股定理

　　如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

　　（1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，即勾2＋股2=弦2．

　　（2）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理，它为我们利用计算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径．

　　（3）勾股定理的证明常用面积法证明，读者可根据下图的几种拼图方式，用面积证明勾股定理．

　　（4）勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．

2、勾股定理的逆定理

　　如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

　　勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！

二、重点、难点、疑点突破

1、勾股定理

　　勾股定理在西方又被称为毕达哥斯定理，它有着悠久的历史，蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”．

　　勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中c为斜边）的三边关系，即

　　c2=a2＋b2．

　　它的变形为c2－a2=b2或c2－b2=a2．

　　运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．

　　例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长．

　　因为该题没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．

　　当两直角边分别为3cm，4cm时，由勾股定理有斜边为=5cm；

　　当斜边为4cm，一直角边为3cm时，则另一直角边为．

　　故第三边为5cm或cm．

2、直角三角形的几个性质

　　（1）两锐角互余；

　　（2）三边长满足勾股定理；

　　（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a；

　　（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；

　　（5）面积等于两直角边乘积的一半．

3、勾股数组

　　能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．

　　不难验证(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均为基本勾股数组．

　　显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…为勾股数组．

　　若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷．

4、数形结合思想

　　数形结合是中学数学中一种重要思想方法，它把代数的精确描述与几何图形的直观结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，也将抽象思维与形象思维有机地结合在一起，实现了数与形的统一．正如华罗庚所说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．”

　　例如对于勾股定理的证明，教材中就是以几何直观形式呈现的，清晰易懂．又由下图，我们不难得出下面的结论：

　　对于正数a，b，c，d，如果a＋b=c＋d，那么，

　　．

　　结合图形，如何证明，同学们不妨一试，亲身体验数形结合的神奇！

三、典型例题剖析

1、运用勾股定理求值

例1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明：AN2－BN2=AC2．

分析：

　　线段AN，BN，AC不构成直角三角形，所以不能直接得到，故考虑转化，由于AC2=AM2－CM2，而MC=MB，故只需说明AN2－BN2=AM2－MB2即可．

证明：

　　∵ MN⊥AB，

　　∴AN2＋MN2=AM2，BN2＋MN2=MB2，

　　∴AN2－BN2=AM2－BM2．

　　又∵AM是中线，

　　∴MB=MC．

　　又∵∠C=90°，

　　在Rt△AMC中，AM2－MC2=AC2，

　　∴AN2－BN2=AM2－MB2=AM2－MC2=AC2，

　　即AN2－BN2=AC2．

小结：

　　此题是证明带有平方的等式，主要思路是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若没有直角三角形，可通过作垂线，构造直角三角形，再利用勾股定理来证明．

例2、如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落到点C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积．

分析：

　　由于S△BED=DE·AB，所以只要求出DE的长即可，而DE=BE，AE=AD－DE=8－BE．在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解．

解：

　　∵AD//BC，∴∠2=∠3，

　　∵△BC′D和△BCD关于直线BD对称．

　　∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴EB=ED．

　　设EB=x，则ED=x，AE=AD－ED=8－x．

　　在Rt△ABE中，AB2＋AE2=BE2，

　　∴42＋(8－x)2=x2，∴x=5，∴DE=5，

　　∴S△BED=DE·AB=×5×4=10．

点拨：运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解．

2、构造直角三角形解题

例3、如图，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的长．

解：

　　如图，延长BC，AD交于E．

　　∵∠B=90°，∠A=60°，

　　∴∠E=30°，∴AE=2AB=4．

　　同理CE=2CD=2．

　　在Rt△ABE中，BE2=AE2－AB2=16－4=12，

　　∴BE=．

　　在Rt△CDE中，DE2=CE2－CD2=4－1=3，

　　∴DE=．

　　∴BC=BE－CE=－2，AD=AE－DE=4－．

点拨：

　　灵活根据图形及条件，构造直角三角形（其实也就是补图），创造条件去利用勾股定理解题．

3、直角三角形的判定

例4、△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，其中m，n是正整数，且m>n，试判断△ABC是否是直角三角形．

分析：

　　本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边．

解：

　　∵m，n是正整数，且m>n，∴c>b，c>a，

　　a2＋b2=(m2－n2)＋(2mn)2=m4－2m2n2＋n4＋4m2n2=m4＋2m2n2＋n4．

　　又∵c2=(m2＋n2)2=m4＋2m2n2＋n4，

　　∴a2＋b2=c2，∴△ABC是直角三角形．

小结：

　　勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是：

　　(1)确定最大边(不妨设为c)；

　　(2)计算c2与a2＋b2的值；

　　(3)比较c2与a2＋b2是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形，否则，不是直角三角形．

例5、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证：EF⊥CE．

分析：要证明EF⊥CE，可证明ΔCEF为直角三角形．

证明：连结FC，设正方形边长为a，则

　　

　　在Rt△AEF中，

　　在Rt△BCE中，

　　在Rt△CDF中，

　　

　　即EF2＋EC2=FC2．

　　∴△CEF为直角三角形，且CF为斜边．∴EF⊥CE．

点拨：

　　这里先运用勾股定理计算出△CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法．

4、勾股定理及逆定理的综合运用

例6、如图所示，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．

分析：

　　由AB=3，BC=4，∠B=90°，想到连结AC，Rt△ABC的面积可求，且可由勾股定理求出AC的长，因此在△ACD中，三边长已知，欲求面积，想到它是不是直角三角形，因此用勾股定理的逆定理进行判断．

解：

　　连结AC，∵∠B=90°，AB=3，BC=4，

　　∴AC2=AB2＋BC2=32＋42=52，∴AC=5．

　　在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，

　　∴AC2＋DC2=52＋122=169=132=AD2．

　　即AC2＋DC2=AD2，

　　∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．

　　∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=×AB×BC＋×AC×CD

　　　　　　　　=×3×4＋×5×12=6＋30=36．

　　四边形ABCD的面积为36．

小结：

　　本题综合运用了勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法．在这里，一方面要熟记常见的勾股数；另一方面，要注意到：如果一个三角形的三边已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．

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