一周强化

一、一周内容概述

1、平移

　　在平面内，将一个图形沿一定的方向平行移动，这种图形的平行移动称为平移．

2、平移的特征

　　平移是沿着某个方向移到一定距离.注意平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等.在平移过程中，对应点所连的线段可能在一条直线上.

3、图形的多次平移

　　一个图形经过多次平移后所得的图形之间都是平移关系，反过来，属于平移关系的两个图形之间可以通过一次或多次平移彼此得到对方。

4、旋转

　　在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

5、旋转的特征

　　（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

　　（2）对应点到旋转中心的距离相等；

　　（3）对应线段相等，对应角相等；

　　（4）图形的形状与大小都没有发生变化；

　　（5）对应线段所在直线所成的角都等于旋转角.

6、旋转对称图形

　　如果某一图形绕着某一定点转动一定的角度（小于周角）后能与自身重合，那么这种图形叫做旋转对称图形.

二、重难点知识归纳

1、根据平移的概念能分析复杂图形的形成过程，并且能熟练地进行平移作图.

　　注意：平移作图除需要原来的位置，还需要其它的条件比如：一对对应点，一对对应边，一对对应角，或平移的距离.

2、能运用旋转的基础知识分析复杂图形的形成过程.

　　（1）旋转是绕一个定点沿某个方向转动一个角度，其中旋转角是转动的角，也可以理解为任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角.

　　（2）旋转作图除需要原来的位置外，还需要一对对应角，一对对应边，旋转的角度等等.

三、典型例题讲解

例1、如图所示△ABC沿射线xy方向平移一定距离后成为△A′B′C′，找出图中存在的平行且相等的线段及相等的角.

分析：

　　本题根据对应点所连的线段平行且相等，可找出，根据对应角相等找出∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.

解：

　　平行且相等的线段有AA′∥BB′∥CC′，AA′=BB′=CC′，相等的角有：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′.

例2、如图所示，△ABC，请将△ABC沿着北偏东60°方向平移2厘米，画出平移后的△′A′B′C′．

分析：

　　选定△ABC一个顶点作坐标参照点，选点A；过A点作坐标轴，画射线AM，使AM在北偏东60°方向上，再在射线AM上截取AA′=2cm；B′、C′两点通过运动平移得到．

解答：

　　（1）过点A作坐标轴（上北、下南、左西、右东）．

　　（2）过点A画∠NAM=60°．

　　（3）在射线AM上截取AA′=2cm.

　　（4）依次作平移：得点B′、C′．

　　连结A′B′，B′C′，C′A′，得△A′B′C′为所求三角形，如图．

例3、有两个村庄A和B被一条河隔开，现在要架设一座桥MN，使由A到B的路程最短，请你设计桥应架在什么地方（河岸是平行的，桥垂直于两岸）.

分析：

　　因为河宽是一定的，所以桥MN的长度一定，要使路线即折线AMNB最短，只须使线段AM、NB之和即AM＋BN最短即可，可平移AM或NB使它们首尾相接，即可确定N或M点的位置.

解答：

　　将A沿垂直于河岸方向平移至A′，使AA′与河宽相等，连结A′B与靠近B点的河岸交于点N，过N作NM垂直于靠近A点的河岸M. 即在N处架桥MN，则路程AMNB最短.

例4、如图△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，请问：

　　①旋转中心是什么？旋转角是什么？

　　②经过旋转，点A、B分别移动到什么位置.

　　③找出图中所有相等的角和相等的线段.

分析：

　　本题根据旋转的有关概念解决问题.

　　①一个图形绕着一个定点旋转，这个定点称为旋转中心.旋转的角叫旋转角（对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角）；

　　②找出A、B的对应点；

　　③相等的角有对应角和旋转角，相等的线段是对应线段.

解：

　　①旋转中心是点C，旋转角是∠BCB′或∠ACA′；

　　②经过旋转点A、B分别移动到点A′B′；

　　③图中所有相等的角有：

　　∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠ACB=∠A′CB′、∠ACA′=∠BCB′.

　　相等的线段为AB=A′B′，AC=A′C，BC=B′C

例5、观察如图所示的图案.它可以看作是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得的？

解：

　　把其中一个“菱形”看作基本图形，顺时针或逆时针经过两次旋转120°，240°可得到.

例6、如图，P是等边三角形，ABC内的一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5︰6︰7，求以PA、PB、PC的长为边长的三角形的三个内角的比.

解析：

　　这里关键是构造以PA、PB、PC为边的三角形。因此，把△APB绕A点逆时针旋转60°，使AB与AC重合，P点到Q点的位置，显然△APQ为正三角形，PQ=PA，这时PA、PB、PC所围成的三角形通过旋转后转化为△QPC中求三个内角的比值.

解：

　　把△APB绕点A逆时针旋转60°到达△AQC的位置，点P的对应点为Q，点B的对应点为C，PB=QC，AP=AQ，且∠PAQ=60°，连结PQ，∴△APQ是等边三角形，则AP=PQ=AQ.

　　∴△QPC就是由AP、PB、PC所围的三角形.

　　由题中可知，∠APB︰∠BPC︰∠CPA=5︰6︰7，设比值为k.

　　∴5k＋6k＋7k=360°，∴k=20°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°.

　　由旋转可知，∠APB=∠AQC，且∠AQP=60°，∴∠PQC=100°－60°=40°

　　∠QPC=∠CPA－60°=140°－60°=80°

　　在△QPC中，∠PCQ=180°－80°－40°=60°

　　则以PA、PB、PC的长为边为三角形三内角转化为△PQC三角之比.

　　分别为40°︰60°︰80°=2︰3︰4.

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