一周强化

一、一周知识概述

　　本周主要学习、讨论了几种特殊的平行四边形，矩形、菱形、正方形和梯形，并探索了它们各自独有的基本特征与性质．它们是最为常见的平行四边形，矩形、菱形、正方形既是轴对称图，又是中心对称图形．通过学习我们必须掌握好它们所具有的性质与其判定方法．

1、矩形

　　有一个角是直角的平行四边形是矩形．

2、矩形的性质定理及推论

　　性质定理①：矩形的四个角都是直角．

　　性质定理②：矩形的对角线相等．

　　推论：直角三角形斜对上的中线等于斜边的一半

3、矩形的判定方法

　　判定方法①：有三个角是直角的四边形是矩形．

　　判定方法②：对角线相等的平行四边形是矩形．

4、菱形的性质定理．

　　（1）菱形的四条边都相等．

　　（2）菱形的对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组对角．

5、菱形的判定方法

　　（1）四条边都相等的四边形是菱形；

　　（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

6、正方形的定义及性质

　　有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．

　　从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．

正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．

判定：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

7、梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底。

梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的高：梯形两底的距离叫做梯形的高。

8、等腰梯形的性质定理

（1）等腰梯形的两腰相等，两底互相平行；

（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；

（3）等腰梯形的对角线相等.

9、等腰梯形的判定方法

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

10、矩形的对角线相等，那么对角线相等的四边形一定是矩形吗？不一定，例如：

　　四边形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠ADC，AD<BC，可证：△ABD≌DCA，即得CA=BD，但四边形ABCD不是矩形．

11、四边形的分类及它们的关系

二、重点知识归纳及讲解

1、矩形的性质定理．

例1、在矩形ABCD中，AE⊥BD，∠BAE︰∠EAD=2︰3，求∠CAE的度数．

解析：由四边形ABCD是矩形易知∠BAD=90°．

　　　由∠BAE︰∠EAD=2︰3，可求出∠BAE和∠DAE．

　　　如果能求出∠DAO，即可求出∠CAE．

　　　由矩形的性质定理易知OA=OD，

　　　故∠DAO=∠ADO，而∠ADO＋∠ABE=90°，

　　　若能求出∠ABE，就能求出∠ADB．

　　　由∠BAE＋∠ABE=90°，可求出∠ABE．

解：∵ 四边形ABCD是矩形，

　　∴ ∠BAD=90°．

　　∵ ∠BAE︰∠EAD=2︰3，∠BAE＋∠EAD=90°，

　　∴ ∠BAE=36°，∠EAD=54°．

　　∵ AE⊥BD，∴∠ABE＋∠BAE=90°．

　　又∵∠ABD＋∠ADB=90°，

　　∴ ∠ADB=∠BAE=36°．

　　∵ 四边形ABCD是矩形，

　　∴ OA=AC=BD=OD，

　　∴ ∠DAO=∠ADO=36°．

　　∴ ∠CAE=∠DAE－∠ADO=18°．

2、矩形的判定方法

例2、证明：平行四边形各内角平分线若围成一个四边形，则这个四边形一定是矩形．

解析：

　　这是一道文字命题证明题，首先要分析题设和结论，再画出图形，写出已知、求证，最后作出证明．

已知：

　　如图所示，AF、CH、BE、DF分别为平行四边形ABCD的四个内角的角平分线，AF分别交BE、DF于E、F，CH分别交BE，DG于H、G．

求证：四边形EFGH为矩形．

证明：∵ 平行四边形ABCD，

　　　∴ AD∥BC．

　　　∴ ∠BAD＋∠ABC=180°．

　　　∵ AE，BE分别平分∠BAD、∠ABC，

　　　∴ ∠1=∠BAD，∠2=∠ABC

　　　∴ ∠1＋∠2=（∠BAD＋∠ABC）=90°．

　　　∴ ∠AEB=90°，

　　　∴ ∠HEF=90°．

　　　同理：∠EFG=90°，∠FGH=90°，

　　　∴ 四边形EFGH为矩形．

3、菱形的性质定理

　　菱形具有平行四边形的一切性质，它还具有一般的平行四边形所不具有的性质，可分别从边和对角线的两个角度来记．

例3、在菱形ABCD中，AB=AC，求∠ADO的度数．

解析：由菱形的对角线平分一组对角可知∠ADO=∠ADC

　　　若能求出∠ADC，就能求出∠ADO的度数．

　　　而∠ADC=∠ABC，由菱形的四条边相等可知AB=BC，

　　　又由AB=AC可知△ABC为等边三角形，故∠ABC=60°．

解：∵ 菱形ABCD，∴∠ABC=∠ADC，∠ADO=∠ADC，AB=BC．

　　∵ AB=AC，∴ AB=AC=BC．

　　∴ ∠ABC=60°，

　　∴ ∠ADO=∠ADC=∠ABC=30°．

4、正方形是一种更为特殊的平行四边形，它既具有平行四边形的一般性质，又具有矩形与菱形的独特性质。 在学习中要注意理解平行四边形、矩形、菱形和正方形各种图形之间的关系。

例 4、在正方形ABCD中，AE∥BD，BD=BE，求∠DBE的度数.

 

解析：

　　连接 AC，过点E作EF⊥BD于F，由正方形的性质可知AC=BD，AC⊥BD.又由EF⊥BD，可知四边形AOFE为矩形，故EF=AO.

　　由正方形的性质可知 AO= AC= BD= BE

　　故 EF为BE的一半，即可得∠DBE=30°.

解：连接 AC交BD于O，过点E作EF⊥BD于F.

　　∵四边形ABCD为正方形.

　　∴ AC=BD，AO=CO= AC= BD，AC⊥BD

　　∵ EF⊥BD，∴ EF∥AO.

　　又 ∵ AE∥BD，∴ 四边形AOFE为矩形.

　　∴ EF=AO= BD

　　∵ BD=BE，∴ EF= BE，

　　又 ∵ EF⊥BD，∴ ∠EBF=30°.

例5、已知在△ABC中，∠C=90°，CD是角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC.求证：四边形CFDE为正方形.

解析：

　　先证四边形 DFCE为矩形，再证其有一组邻边相等.

证明：

　　∵ DE⊥BC，DF⊥AC

　　∴ ∠ CED=∠CFD=90°，又∵ ∠C=90°

　　∴ 四边形 DFCE为矩形

　　又∵ CD是角平分线，DF⊥AC，DE⊥BC

　　∴ DF=DE

　　∴ 四边形 DFCE为正方形.

5、在解与梯形相关的问题时，常将梯形转化为三角形和四边形.

　　梯形经常通过划分成一个平行四边形与一个三角形来解决有关问题，通过练习，我们要深刻理解和掌握这一化归思想。 通过学习要认识等腰梯形的轴对称特征及其他性质。

例 6、已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm，49cm，求它的腰长.

解法一：过点 A作AE∥CD，交BC于E.

　　∵ AD∥BC，∴ AE=DC

　　∵ AB=DC，∴AB=AE

　　∵ ∠ B=60°，∴ △ABE为等边三角形.

　　∴ AB=BE=BC－EC=BC－AD=34cm

解法二：延长 BA、CD交于点E.

　　∵ ∠ B=∠C=60°

　　∴ △ BCE为等边三角形.

　　∴ BE=BC=49cm.

　　∵ AD∥BC，∴ ∠EAD=∠B，∠EDA=∠C

　　∴ ∠ EAD=∠EDA=60°.

　　∴ △ EAD为等边三角形.

　　∴ AE=AD=15cm

　　∴ AB=BE－AE=34cm

解法三：延长 AD至E，使AE=BC.

　　∵ AD∥BC，∴ 四边形ABCE为平行四边形.

　　∴ ∠ E=∠B=60°，EC=AB

　　∵ AB=CD，∴ EC=CD.

　　∴ △ CDE为等边三角形.

　　∴ CD=DE=AE－AD=BC－AD=34cm

解法四：分别过点 A、D作BC的垂线，垂足分别为F、E.

　　∵ AF⊥BC，DE⊥BC，

　　∴ AF∥DE，∵ AD∥BC，

　　∴ AF=DE，同理：AD=FE.

　　∵ AB=DC，梯形ABCD为轴对称图形.

　　∴ BF=CE，又∵ BF＋CE=BC－FE=BC－AD=34cm

　　∴ BF=17cm，∵ ∠B=60°

　　∴ AB=2BF=34cm.

4、通过平移变换表示两条线段的和与差

例 7、在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为AD、BC的中点，且

　　　∠ B＋∠C=90°，求：EF︰（BC－AD）的值.

解析：

　　通过作平移交换，将 BA、CD平移使点A、D都与点E重合，可将BC—AD表出，再找EF与BC—AD之间的关系。

解：

　　过点E分别作EG∥AB，EH∥DC，交BC于G、H.

　　∴ ∠EGH=∠B，∠EHG=∠C.

　　∵ ∠B＋∠C=90°，∴ ∠GEH=90°

　　∵ AD∥BC，∴ AE=BG，HC=DE

　　∵ E、F分别为AD、BC的中点，

　　∴ AE=DE，BF=CF

　　∴ GF=HF

　　∴ EF= GH= ·（BC－AD），

　　∴ EF︰（BC－AD）=1︰2

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