一周强化

一、一周知识概述

1、反比例函数

　　一般地，形如的函数（k≠0，k为常数）叫做反比例函数．

2、反比例函数的图象与性质

反比例函数
k的符号	k>0	k<0
图象
性质	①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0 ②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小	①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0 ②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大

3、用待定系数法求反比例函数的解析式

　　反比例函数图象上的点的坐标满足函数关系式；满足函数关系式的一对x、y值对应的点在其函数图象上，因此，已知反比例函数图象上一个点的坐标，就能用待定系数法确定其解析式．

4、反比例函数的应用

　　（1）反比例函数解析式解实际问题

　　①列实际问题中的函数关系式首先应分析清楚各变量之间应满足的分式，即实际问题中的变量之间的关系→建立反比例函数模型→解决实际问题

　　②在列实际问题中的函数关系式时，一定要在关系式后面注明自变量的取值范围．

　　（2）运用反比例函数模型解实际问题时，要掌握以下一些基本模型：

　　①当体（面）积为定值时，底面积（边长）与高成反比例函数关系；

　　②当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数；

　　③当力F所做功为定值时，力F与物体在F方向通过的距离s成反比例函数关系

　　④杠杆定律：力×力臂=定值；

　　⑤压强公式：其中P为压强，F为压力，S为受力面积；

　　⑥欧姆定律：IR=U，其中I为电流（A），R为电阻（Ω），U为电压（V）．

　　⑦在温度不变的条件下，密度与体积成反比例函数关系．

二、重点难点疑点突破

1、反比例关系与反比例函数的区别与联系

　　（1）小学数学中讲述当矩形的面积S一定时，矩形的长a与宽b成反比例关系，那时所说的a与b均为常数．现在我们所说的反比例函数（k为非零常数），这时的x与y均为变量．但它们有一个共同的特点：ab=S，xy=k，即其积为一个常数．

　　（2）成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如中，y＋5与z＋2成反比例，但y不是关于z的反比例函数；再如中，y与x2成反比例，但y不是关于x的反比例函数，因为这里的分母中，x的指数不是1．

2、正确认识反比例函数及其形式

　　当常数k≠0时，xy=k或y=kx－1是反比例函数的变形形式（隐函数形式）．

　　但通常写成显函数的形式．如不要写成1－xy=0，不要写成2xy＋3=0．

3、反比例函数的图象与性质

　　（1）反比例函数图象的位置是：当k>0时，x、y同号，图象为第一、三象限的两支曲线；当k<0时，x、y异号，图象为第二、四象限的两支曲线，故又称反比例函数为双曲线．

　　（2）若点(a，b)在反比例函数的图象上，则点(－a，－b)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称．

　　（3）对于k>0，当x取正值且越来越大时，y也取正值但越来越小，所以这时反比例函数的图象在第一象限越来越接近x轴（但不与x轴相交）；当x取正值越来越小时，y也取正值但越来越大，这时其图象在第一象限内越来越接近y轴（但不与y轴相交）．其图象如图（甲）所示．依对称性不难知道其图象在第三象限内的变化趋势．

　　对于k<0的情况，类似可得，其图象如图（乙）所示．

4、反比例函数中的比例系数k的几何意义

　　依反比例函数的表达式，我们不难得到k=xy(k≠0)，如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|．

　　即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线，则两垂线线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k|，且这个面积的值与取点的位置无关．

三、典型例题讲解

例1、已知．

　　（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；

　　（2）如果y是x的反比例函数，求m的值．

解：

　　（1）由正比例函数的定义，得

　　

　　∴m=1．

　　（2）由反比例函数的定义，得

　　

　　∴m=－1．

点评：

　　本例一是要注意区分正、反比例函数的定义，其特点是对y=kxn，当n=1时为正比例函数，当n=－1时为反比例函数，两者的前提条件都是k≠0；二是解一元二次方程或不等（≠）式时，目前要尽量运用分解因式的方法求解．

例2、已知y与x－1成反比例，且当x=时，y=，那么当x=2时，y的值为______．

解：

　　设，即k=(x－1)y(k≠0)．

　　将x=，y=代入，得．

　　∴，当x=2时，．

点评：

　　两个变量的代数式之间成反比例关系时，也涉及到先确定其反比例的系数k的问题，这一点与反比例函数极其相似．

例3、已知一次函数y=2x－k的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为－4．求这两个函数的解析式．

解：

　　依题意知，在这个交点处y=－4，故有

　　

　　检验知，k=1符合题意．

　　故一次函数的解析式为y=2x－1；反比例函数的解析式为．

点评：

　　待定系数法是确定函数解析式的一种常用方法，在一次函数中我们已经学习过，跟正比例函数y=kx一样，由于反比例函数中只有一个系数k待定，通常只需知道图象过某一点就可以待定出系数k来．而本例只给出一个点的一个坐标，通过反比例函数与一次函数的交点，用联立方程组来待定k和另一坐标x，这都是待定系数法确定函数解析式的常用方法．

例4、如图，A、C是函数的图象上的任意两点，过A点作x轴的垂线，垂足为B；过C点作y轴的垂线，垂足为D．记Rt△AOB的面积为S1，Rt△COD的面积为S2，则（　）

A．S1>S2　　　　　　　　　　B．S1=S2

C．S1<S2　　　　　　　　　　D．S1与S2的大小关系不能确定

解：

　　S1=|OB|·|AB|=|xA|·|yA|=，

　　S2=|CD|·|OD|=|xC|·|yC|=．

　　∴S1=S2．故选B．

点评：

　　因为点A、C在反比例函数的图象上，所以xy=1．此题是利用反比例函数中xy=k（常数）来解题．

例5、已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的值为_______．

解：

　　∵y是反比例函数，∴3－m2=－1，即m2=4．

　　又∵此反比例函数的图象在第二、四象限，

　　∴m－1<0，即m<1．

　　解方程组得m=－2．

点评：

　　对反比例函数，若其图象在第一、三象限，则x、y同号，k>0；若其图象在第二、四象限，则x、y异号，k<0，反之亦然．这就是k的符号功能．

　　在解有关正、反比例函数及一次函数问题时，若能做到眼中有式（函数解析式），脑中有图（函数的图象），数与形紧密结合，解题时就能灵活自如了．

例6、在函数(a为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系是（　）

A．y2<y3<y1　　　　　　　　　　B．y3<y2<y1

C．y1<y2<y3　　　　　　　　　　D．y3<y1<y2

分析：

　　∵是反比例函数，

　　且－a2－1=－(a2＋1)<0，

　　∴双曲线分布在第二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大．

　　∵(－3，y1)和(－1，y2)在第二象限，且－3<－1，

　　∴y1<y2．又∵(2，y3)在第四象限，

　　∴y3<y1，y3<y2．故可知它们的大小关系．

答案：D．

点评：

　　若在同一个象限内，y随x增大而增大或减小，可直接比较，如果是跨象限比较时，只能根据图象进行比较，不能生搬硬套．

例7、为了预防“非典”，某学校教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每平方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（其图象如图所示）．观察得药物8分钟燃毕．此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答如下问题．

　　（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式______，自变量x的取值范围是________；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为______；

　　（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室？

　　（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

解：

　　（1）设燃烧时y与x的函数关系式为y=kx，将点（8，6）的坐标代入，得

　　由图象可知，自变量x的取值范围为0≤x≤8．

　　设燃烧后，y与x的函数关系式为

　　将点（8，6）的坐标代入，得m=48，

　　∴燃烧后的函数关系式为

　　（2）把y=1.6代入得x=30（分钟）．

　　即从消毒开始，要过30分钟后，学生才能回到教室．

　　（3）把y=3代入中，得x1=4；

　　把y=3代入中，得x2=16．

　　x2－x1=16－4=12>10（分钟），故此次消毒有效．

点拨：

　　本例是一道分段函数题，药物燃烧过程中和燃烧后的两段函数关系式按题直译并不困难．在第（2）问及第（3）问中，对应用函数关系回答实际中的问题的能力要求比第（1）问的数学建模更高，这正是用数学解决实际问题所应具备的能力．

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