1、平行四边形的性质
平行四边形的性质较多，按“边、角、对角线”分类去研究易于理解和应用．
(1)边：平行四边形对边平行、对边相等；
(2)角：平行四边形对角相等，邻角互补；
(3)对角线：平行四边形的对角线互相平分．
对角线是将四边形转化为三角形的桥梁，平行四边形中也常利用“对角线互相平分”这一性质解决问题．
（4）平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．
2、平行四边形的判定方法
平行四边形判定方法除它的定义外，还有如下几种方法：
(1) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
判定一个四边形是平行四边形需两个条件，这两个条件必须对应，若已知一组对边平行，可证另一组对边平行或这组对边相等；若已知一组对边相等，可证这组对边平行或另一组对边相等；若已知一条对角线被一点平分，则需证另一条对角线也被此点平分．但要注意一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．
特别说明的是：平行四边形的定义既是它的性质，又是它的判定．
例1、下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线平分的四边形是平行四边形；
③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形；
④一组对边相等，一组对角也相等的四边形是平行四边形．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．4个
分析：
能够由定义、公理、定理推得的命题是真命题，要说明一个命题是假命题只要举出一个反例说明它不成立即可．对于(1)等腰梯形符合条件但不是平行四边形；对于(2)“对角线平分”不够准确，没有说明两条对角线怎样平分，应为“对角线互相平分”；对于(3)不是两组对边相等，而是两邻边分别相等，不能判断是平行四边形；对于(4)，如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，在△ADE与△DAC中，DE=AC，∠ACD=∠AED，所以AB=DE，∠AED=∠B，符合条件，但四边形ABDE不是平行四边形．
解：A
误区警示：注意区分平行四边形性质和判定的条件和结论，可从“边、角、对角线”三个方面去理解和掌握平行四边形的性质和判定．
例2、如图，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，图中有多少个平行四边形？
分析：用平行四边形的定义来判断．
解：
在□ABCD中，∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC．
∴除□ABCD外，还有□AGOE、□AGHD、□ABFE、□GBFO、□GBCH、 □FCHO、 □FCDE、 □HDEO，即图中有9个平行四边形．
点评：平行四边形的定义是判定一个四边形是不是平行四边形的方法之一．
例4、如图，在□ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE，
(1)写出图中所有你认为全等的三角形；
(2)延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H，请补全图形，证明四边形AGCH是平行四边形．
分析：
(1)利用平行四边形的性质；(2)欲证明四边形AGCH是平行四边形，已知AH//CG，故需证明AG//CH，或证明AH=CG即可证之．
解：
(1)△ABE≌△CDF，△AED≌△CFB，△ABD≌△CDB；
(2)补全图形如图，
∵BF=DE，∴ BF＋FE=DE＋EF，即BE=DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．∴∠ABD=∠CDB．
在△ABE和△CDF中：
∴△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，
∴HC//AG，
∴四边形AGCH为平行四边形．
反思：
证明一个四边形是平行四边形选择适当的判定方法是关键，本题（2）是运用平行四边形的定义来证明的，你能运用AH与CG平行且相等证明吗？
例4、(1)有四边形ABCD和下列条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB=CD；④AD=BC．从上面4个条件中选出两个，能说明四边形ABCD是平行四边形的有________；
(2)如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是________(填上你认为正确的一个即可)．
分析：
(1)首先确定共有六种选法：①②，①③，①④，②③，②④，③④，然后根据判定方法选出正确的结论．
(2)研究补充条件后，只要能证明四边形AECF有两组对边分别平行(或两组对边分别相等，或一组对边平行且相等，或对角线互相平分)即可．如图，若添加条件BE=DF，连接AC交BD于O，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO，BO=DO，所以BO－BE=DO－DF，即OE=OF．所以四边形AECF是平行四边形．
解：
(1)①②为定义；①③，②④为一组对边平行且相等；①④，②③为一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形故排除；③④为两组对边分别相等．综上所述有：符合的是①②，①③，②④，③④，共四种方法．
(2)BE=DF或BF=DE或AE∥FC等
点评：
(2)题是一道与平行四边形判定有关的题设开放型题目，关键要理解平行四边形的判定方法．
例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CF是斜边上的高，AT平分∠CAB交CF于点D，过D作DE∥AB交BC于点E．求证：CT=EB．
