一周强化

一、一周知识概述

1、矩形的判定方法

（1）对角线相等的平行四边形是矩形．

　　 说明：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

　　　　　 ②常根据此判定来检查一个矩形中直角的精度．

（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形．

　　 说明：一般有多条垂线构成若干个直角时，采用这种方法证明．

2、菱形的判定

方法一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

方法二：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

方法三：四边都相等的四边形是菱形．

方法四：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．

二、重难点知识

1、矩形的判定和性质的综合运用是重点，也是难点．

2、菱形的判定方法的恰当选择是重点，又是难点．

三、典型例题讲解

例1、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．

　　 求证：四边形EFGH是矩形．

分析：

　　因为题设条件与四边形EFGH的对角线有关，因此用判定方法一，即“对角线相等的平行四边形为矩形”来证明，即证EG=FH及四边形EFGH是平行四边形．

解答：

　　证明：∵E是OA的中点，G是OC的中点，．

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴AO=OC，∴OE=OG．同理OF=OH．

　　∴四边形EFGH是平行四边形，

　　

　　又AC=BD，∴EG=FH，∴四边形EFGH是矩形．

方法总结：

　　证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证明这个四边形是平行四边形且对角线相等．

例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

分析：

　　由已知可猜想△MEF是等腰直角三角形，运用等腰直角三角形和矩形性质证△MEA≌△BFM即得出结论．

解答：

　　△MEF是等腰直角三角形，连结AM．

　　∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，

　　AM平分∠BAC，

　　．

　　∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，

　　∴DE∥AB，DF∥AC．

　　∵∠BAC=90°，∴四边形DFAE是矩形．

　　∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°，

　　∴∠BDF=45°=∠B，

　　∴BF=FD，∴AE=BF．

　　∴△AEM≌△BFM，∴ME=MF，∠AME=∠BMF．

　　∵∠BMF＋∠AMF=90°，∴∠AME＋∠AMF=90°，

　　∴MF⊥ME，∴△MEF是等腰直角三角形．

方法总结：

　　该题综合运用了等腰三角形、矩形的有关性质，解题时要认真分析，充分利用等腰三角形三线合一和矩形的边角性质，特别是对图形的认识要注意排除线条的干扰．

例3、如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．

　　(1)求证：EO=FO；

　　(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

分析：

　　这是一道结论存在型探究题，综合性较强，对于(1)问，可以从CE平分∠BCA和平行线的性质定理证EO=CO，同理FO=CO，从而EO=FO；

　　对于第(2)问，由CE、CF是∠BCA的内、外角平分线知∠ECF=90°，若四边形AECF为平行四边形，则问题得到解决．由(1)知动点O在AC边上不管怎样运动，总有EO=FO．因此，让动点取在AC的中点上，则有OA=OC，这样根据矩形的判定可知四边形AECF是矩形．

解答：

　　(1)∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，又∠OCE=∠BCE，

　　∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC．同理可证OF=OC，∴OE=OF．

　　(2)∵CE、CF分别是∠ACB的内、外角平分线，

　　．

　　即∠ECF=90°，所以还需证四边形AECF是平行四边形，

　　又OE=OF，∴当O点运动到AC中点时，OA=OC，四边形AECF是矩形．

延伸总结：

　　(1)明确互为邻补角的平分线互相垂直．

　　(2)观察图形，归纳结论，特别是固定结论如本题(1)中无论O在什么位置，总有EO=FO，这是解决动点问题的关键．

　　(3)由探讨四边形AECF的形状知有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以找出解题思路：须OA=OC，故易得出结论，动点O运动到AC的中点时AECF为矩形．

例4、如图，M、N分别是DC、AB的中点，若∠A=60°，AB=2AD，求证：MN⊥BD．

分析：

　　由于MDNB，故连接DN，MB之后，四边形BMDN是平行四边形，而要证MN⊥BD，因此只要能证明□BMDN是菱形即可，由于∠A=60°，AD=AN，故△AND是等边三角形，因此DN=AN=NB.

证明：连接MB和ND.

　　∵ABDC，M、N为AB、AC的中点，

　　∴．

　　∴四边形BMDN为平行四边形．

　　在△AND中，∠A=60°，AD=AN，

　　∴△AND为等边三角形，

　　即AD=AN=DN=NB．

　　∴四边形BMDN为菱形，∴MN⊥BD．

例5、如图：Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，自A作AH⊥BC于H，交BD于点E，自D点作DF⊥BC于F，求证：四边形AEFD为菱形．

分析：

　　由已知条件可选择菱形的判别方法，证明四边相等．

证明：

　　∵∠AED＝90°-∠DBH，∠ADE＝90°-∠ABD，

　　又∵∠DBH=∠ABD，∴∠AED＝∠ADE

　　∴AE＝AD

　　∵∠ABD=∠DBH，DA⊥AB，DF⊥BF，∴AD＝DF.

　　∵AH⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.

　　∵AEDF，∴四边形ADFE为平行四边形.

　　又∵AD＝DF，∴四边形ADFE为菱形.

例6、已知一张矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＞AB.如图所示，将纸片沿EF折叠，使顶点A与C重合．

　　（1）试证，四边形AECF是菱形

　　（2）若折叠后，纸片重叠的两部分面积和为2a2，求此矩形的周长．

分析：

　　由轴对称性，易知AF＝FC，AE＝EC．

　　又由ABCD为矩形，知∠AFO＝∠OEC，所以∠OEC＝∠OFC，所以EC＝FC．

证明：

　　（1）由已知得△AEF与△EFC关于EF所在的直线对称：

　　∴AF＝FC，AE＝EC，∠AFO＝∠CFO．

　　又∵ABCD为矩形，∴∠AFO＝∠OEC

　　∴∠OEC＝∠OFC，∴EC＝FC

　　即四边形AECF为菱形.

解：（2）由S△EFC=a2，AB＝a得 EC＝2a，

　　在Rt△ECB′中，EB′＝EB＝==a，

　　所以BC＝BE＋EC=＋2a=(2＋)a，所以周长为（6＋2）a

- 返回 -