例1、（常州）如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°.
分析：要证明两个角的和是180°，可把它们移到一起，证它们是邻补角即可，由PD⊥BC，∠1=∠2，联想到过P作BA的垂线PE，有PE=PD，BE=BD，又由AB＋BC=2BD得AE=CD，故△APE≌△CPD，从而有∠EAP=∠PCB，故问题得证：
由AB＋BC=2BD得BC－BD=BD－AB，即CD=BD－BA，故可以在BD上截取BF=BA.
证法一：过P作PE⊥BA于E，如图所示，
∵PD⊥BC，∠1=∠2
∴PE=PD（角平分线上一点到角的两边距离相等）
在Rt△BPE和Rt△BPD中
 ∴Rt△BPE≌Rt△BPD.
∴BE=BD.
∵AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE，
∴AE=CD
∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEB=∠PDC=90°
在△PEA和△PDC中
 ，∴△PEA≌△PDC.
∴∠PCB=∠PAE
∵∠BAP＋∠EAP=180°
∴∠BAP＋∠BCP=180°.
证法二：在BC上截取BF=BA，连接PF，如图所示.
∵AB＋BC=2BD
即BC－BD=BD－AB
∵BF=BA
∴BC－BD=BD－BF
∴CD=FD.
在△PDF和△PDC中
 ，
∴△PDF≌△PDC
∴∠PCB=∠PFD
在△BAP和△BFP中
 ，
∴△ABP≌△FBP
∴∠BAP=∠BFP
∵∠BFP＋∠PFC=180°
∴∠BAP＋∠PCB=180°
证法3：如图所示，延长BC到E，使DE=BD，连接PE，
∵PD⊥BD
∴∠BDP=∠EDP=90°
在△BDP和△EDP中
∴△BDP≌△EDP
∴BP=PE，∠2=∠PEC
又∵∠1=∠2 ，∴∠PEC=∠1
∵AB＋BC=2BD，DE=BD
∴AB=CE
在△ABP和△CEP中
∴△ABP≌△CEP
∴∠BAP=∠ECP
又∵∠BCP＋∠ECP=180°，
∴∠BCP＋∠BAP=180°.
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