主讲：方敏文

一周强化

一、一周知识概述

1、二次根式的乘法法则

　　(a≥0，b≥0)

　　即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．

　　注意：①此法则可推广到多个二次根式的情况：如（a，b，c，d都是非负数）；

　　②如果根号前有系数，就把各个系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数；

　　③二次根式运算的结果，应该尽量化简，如最终结果不要写成；

　　④被开方数相乘的时候，往往不求出乘积，而是考虑因数分解或因式分解，以便进一步的化简. 如直接得到，而不要先写成；

　　⑤二次根式相乘也要有一定的灵活性，如果不是最简二次根式，也可以先把它们化简成最简二次根式，然后再相乘，反而简便些. 如.

2、二次根式的除法法则

　　(a≥0，b＞0)

　　即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．

　　注意：①如果根号前有系数，就把各个系数相除，仍旧作为二次根号前的系数；

　　②这种方法的局限性比较大，它只适用于被除式与除式的被开方数恰好能整除的情况. 如. 当被除式与除式的被开方数不能整除时，如我们把它化成没有什么意义，这时就要采用分母有理化的方法来进行. 因此二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中根号的方法来进行.

　　③二次根式相除，最后的结果必须化成最简二次根式.

3、二次根式的混合运算

　　二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．

　　注意：①在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；

　　②有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

　　③二次根式的运算结果必须是最简二次根式．

二、重难点知识

1、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．

2、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

3、二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律）、运算法则及所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等），在二次根式的运算中仍然适用．

三、典型例题讲解

例1、计算

（1）；              

（2）；

（3）.

分析：

　　逆向利用积的算术平方根的性质，（a≥0，b≥0）得到（a≥0，b≥0）这就是二次根式的乘法法则. 有理数的运算律、乘法公式对于二次根式同样适用.

解：

　　（1）

　　（2）

    　　

　　（3）

例2、计算

　　（1）；（2）；（3）；（4）；

　　（5）；（6）．

分析：

　　利用二次根式除法法则进行，被开方数相除时，用除以一个数（非零）等于乘以这个数的倒数，约分再化简．

解：

　　（1）原式．

　　（2）原式．

　　（3）原式．

　　（4）原式．

　　（5）原式．

　　（6）原式．

小结：

　　当除式是分数或分式时，可转化为乘法计算．运算的结果一定要最简．即：①被开方数不能有开得尽方的因数或因式；②被开方数中不能含有分母．

例3、有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为∶1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

解：设矩形房梁的截面宽为x（cm），则长为xcm，依题意，

得：（x）2＋x2=（3）2，

4x2=9×15，x=（cm），

x·x=x2=（cm2）．

例4、计算下列各题

（1）

（2）

分析：

　　这是二次根式乘除的混合运算，与有理数的混合运算一样，按先后从左到右顺序进行.

解：

（1）原式=

=

=

=

=

（2）原式=

=

=

=

=

=

例5、计算

分析：

　　（1）可类比多项式乘法进行计算；（2）逆用幂的运算法则，能用乘法公式则宜用乘法公式计算；（3）是二次根式的除法，可按分式的基本性质计算.

解：

　　

点拨：

　　二次根式的乘法尽量使用乘法公式，使计算简便，除法中的除式不只一项的，宜用分数（式）的基本性质，分子、分母同时乘以一个因式，使分母中的根号化去 .

例6、观察下列各式及其验证过程：

　　

　　（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；

　　（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并证明它成立．

思路：

　　（1）我们从两个特例入手，可以发现式子的结构特点：根号前面的数字因数和被开方数的分子相同，而分母等于分子的平方减1，于是易猜想出的变形结果，并得到一般规律；

　　（2）由题设及（1）的验证结果，可猜想对任意自然数n（n≥2）都有：．

总结：

　　（1）本题的结论没有明确给了，需要我们去寻求和发现，合理运用猜想，就能较快地找到结论或结果，解这类题目，通常先从特殊入手，分析归纳得到一般的结果；

　　（2）要学会类比思想，找出规律性的东西，这是现在中考中的创新题型；

　　（3）在本题的规律中等式右边中切忌写成．

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