主讲：高级教师　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、二次根式的定义

　　形如的式子，叫做二次根式．注意：二次根式有意义的条件是a≥0．

2、二次根式的基本性质

(1)是一个非负数；

(2) ；

(3) ．

3、二次根式的乘法法则

即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．

4、积的算术平方根的性质

即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．

5、二次根式的除法法则

即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．

6、商的算术平方根的性质

7、最简二次根式

　　满足下列条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式．

二、重难点知识归纳

1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．

2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负 (≥0).

3、利用得到成立，可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式．如．

4、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．

5、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简方法有多样，但都要化简．如化简．

方法1：．

方法2：．

方法3：．

方法4：

6、二次根式的分母有理化

　　当被开方式中含有分母时，要把分母中的根号化去，这个运算过程叫分母有理化．如分母含时，分子分母同乘以；分母为形式，分子分母同乘以，以便运用平方差公式，化去分母中的根号．

三、典型例题讲解

例1、已知，化简.

解析：

　　因为，由二次根式的被平方数为非负性知：x－2≥0且x-2≤0，从而x=2。

　　所以。

　　故有。

例2、已知等式在实数范围内成立，其中x、y、a是两两不同的实数，试求代数式的值．

解：

　　由题意得

　　∴由①③得a≥0，由②④得a≤0．

　　∴a=0．

　　故：原等式可化为，∴x=－y．

　　∴

例3、计算下列各题．

　　

　　

　　

　　

解：

　　

　　

　　

　　

例4、已知求二次根式的值.

分析：

　　将作为一个整体，逐步平方得到的值.

例5、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．

分析：

　　∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．

解：

　　由二次根式有意义的条件知

　　，∴x＋y=199

　　将其代入已知等式得

　　．

　　又根据算术平方根为非负实数有

　　

　　

　　②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得

　　m=x＋y＋2=199＋2=201．

总结：

　　当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．

例6、把下列各式化成最简二次根式：

　　

分析：

　　（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．

总结：

　　（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；

　　（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．

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