主讲：方敏文

一周强化

一、一周知识概述

1、一元二次方程的定义

　　如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2的整式方程，像这样的整式方程叫做一元二次方程．

　　⑴ 一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：

　　① 是整式方程；

　　② 含有一个未知数；

　　③ 未知数的最高次数是2，

　　这三个条件缺一不可。

　　⑵ 要判定一个整式方程是不是一元二次方程，一般需要将这个整式方程变形成为的形式。变形时，允许去分母、去括号、移项、合并同类项。在变形之后的形式中，若，则原来的方程便是一元二次方程；否则就不是一元二次方程。如：，所以它是一元二次方程；而，它不是一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

　　方程ax2＋bx＋c=0(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别叫做二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．

3、一元二次方程的解

　　能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元二次方程的解，也叫做这个方程的根．

4、直接开方法

　　形如x2=a(a≥0)和(mx＋n)2=a(a≥0)的方程，利用平方根的定义直接开平方降次求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．

　　x2=a(a≥0)的解是，(mx＋n)2=a(a≥0)降次转化为mx＋n=．

5、因式分解法

　　(1)分解因式法：把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的乘积，将一元二次方程化为两个一元一次方程来求解，从而求出原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．因式分解的依据是：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零，即当时一定有a=0或b=0．

　　(2)用分解因式法解一元二次方程的步骤：

　　①将方程的右边化为0；

　　②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

　　③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

　　④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

6、配方法解一元二次方程

　　通过配方，将方程的一边配成一个完全平方式，另一边化为非负数，直接利用开平方法求出它的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法

　　为了配成完全平方式，在方程两边都加上一次项系数一半的平方．

7、一元二次方程的求根公式

　　将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．

　　该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．

　　（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

　　（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

　　（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．

二、重难点知识归纳

　　理解一元二次方程和一元二次方程的解法是重点．灵活选用解法是难点．

　　(1)对于它的解法，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

　　(2) “直接开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

　　(3)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

　　(4) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

　　(5)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

三、典型例题讲解

例1、若方程(k+1)x|k|＋1+（k-1）x+2=0是关于x的一元二次方程，则k=_________.

分析：

　　由一元二次方程的定义即可确定k的值.

解：

　　由题意得

　　∴k=1

　　所以填1.

例2、说出方程的二次项系数、一次项系数及常数项。

分析：

　　要指出某一个一元二次方程的各项系数，必须要把它化成一般形式，可以通过去括号、移项、合并同类项等方法变形。

解：

　　

　　去括号，得：

　　移项，合并同类项，得：

　　∴二次项系数是5，一次项系数是-5，常数项是1。

例3、(1) 关于x的方程(m＋2)2x2＋3m2x＋m2－4=0有一根为0，则2m2－4m＋3的值为(　)

A．3　　　　　　　　　　　　　B．19

C．±2　　　　　　　　　　　　D．3或19

　　(2)设是整数，关于x的方程有一个根是，求的值。

分析：

　　(1)题是关于x的方程，有可能是关于x的一元一次方程，即(m＋2)2有可能为0，也有可能不为0．

　　（2）已知方程的根，可代入得到关于a, b的等式．

解：

　　(1)将x=0代入原方程得m2－4=0，∴m=±2，当m=2时，2m2－4m＋3=3，当m=－2时，此时方程为一次方程，符合题意，且此时2m2－4m＋3=19，故所求的代数式的值为3或19．选D．

　　（2）把代入

　　得

　　整理，得

　　∵ 是整数，是无理数

　　∴ 解得

　　∴

　　小结：(1)代解、求解是解决与方程的根有关的问题的两种基本方法；

　　（2）若，是有理数，是无理数

　　则,本题正是运用了这一性质，求出的值。

　　(3)要注意关于x的方程与关于x的一元二次方程的区别，后者必须满足二次项系数不能为0．

例4、已知m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，试求(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)的值．

分析：

　　根据一元二次方程的根的定义，由于m、n都是方程x2＋2006x－2008=0的根，所以m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0，由此不难求出(m2＋2006m－2007)和(n2＋2006n－2007)的值．

解：

　　∵m、n是方程x2＋2006x－2008=0的根，

　　∴m2＋2006m－2008=0，n2＋2006n－2008=0

　　∴m2＋2006m－2007=1

　　n2＋2006n＋2007=4015

　　∴(m2＋2006m－2007)(n2＋2006n＋2007)=1×4015=4015

　　总结：要善于运用根的定义，求出某些代数式的值．

例5、用开平方法解下列关于x的方程。

　　（1）

　　（2）

　　（3）

分析：

　　对于形如都可以用开平方法来解。

解：

　　（1）

　　

　　∴ 　　

　　（2）

　　

　　

　　∴或

　　∴，或

　　（3）

　　

　　∴ 或

　　∴ ，或

　　小结：方程的根若是二次根式，则要化简，分母中若有根号，分母应有理化。

例6、用因式分解法解下列方程

　　（1） ；

　　（2） ；

分析：

　　一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征.

解：

　　（1）原方程可变形为

　　

　　或 ，

　　∴ .

　　（2）原方程可化为

　　，

　　即，

　　∴ ，

　　∴ 或 ，

　　∴ .

　　说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.

例7、小明、小华和小英三人共同探讨代数式x2－4x＋5的值的情况，他们进行了明确的分工，小明负责找出最小值，小华负责找出值为0的x的值，小英负责求出最大值，5分钟后，各自通报自己的成绩．

　　小华说：当x2－4x＋5=0时，方程没有解，故找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零．

　　小明说：我考察了很多数，发现最小值为1．

　　小英说：x2－4x＋5的值随x取值改变而改变，我暂时没有找到它的最大值．

　　聪明的同学，你能用什么方法很快对他们的结论作出准确的判断吗？我想，你一定行的！

分析：

　　将x2－4x＋5配方易得出结论．

解：

　　因为x2－4x＋5=x2－4x＋22＋1

　　　　　　　　 =(x－2)2＋1

　　当x=2时，代数式的值最小，最小值为1，所以小明结论正确，由此可知找不到满足条件的x值，使x2－4x＋5的值为零，也可以知道代数式没有最大值(在此处配方的威力可大啊！)

　　总结：配方法是一种最重要的数学方法，通过配方，使代数式中出现完全平方式的形式，然后利用完全平方式的特点，使问题得到解决．

例8、解下列方程：

　　(1)；

　　(2)；

　　(3);

分析：

　　用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

解：

　　(1)∵a=1，，c=10

　　

　　∴

　　∴

　　(2)原方程可化为

　　∵a=1，，c=2

　　

　　∴

　　∴

　　(3)原方程可化为

　　∵a=1，，c=－1

　　∴

　　∴；

　　∴．

　　小结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；

　　(2)用求根公式法解方程按步骤进行．

例9、用适当方法解下列方程：

　　① 　　　　　　　②

　　③ 　　　　　④

　　⑤ 　⑥

　　⑦

分析：

　　要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。

　　⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。

　　⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。

　　⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。

　　⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。

解：

　　①

　　

　　两边开平方，得

　　∴

　　②

　　配方，得

　　

　　∴

　　∴

　　③

　　

　　配方，得

　　

　　∴

　　∴

　　④

　　∵

　　∴ =4+20=24

　　∴

　　∴

　　⑤

　　

　　配方：

　　

　　∴

　　∴

　　⑥

　　整理，得

　　

　　∴

　　⑦

　　移项，提公因式，得

　　

　　∴

　　小结：以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。

　

- 返回 -