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主讲：方敏文
一周强化
一、一周知识概述
l、相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边的比相等的三角形，叫做相似三角形．
(2)相似符号：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
(3)相似特征：两个三角形的形状一样，但大小不一定一样．
(4)相似性质：相似三角形对应角相等，对应边的比相等．
(5)相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
2、相似三角形的基本定理
(1)定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
(2)定理的基本图形，如图所示．
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE．
3、相似三角形的判定方法
(1)定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似．
(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定方法1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
(4)判定方法2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
(5)判定方法3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
4、相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形的对应中线、对应角平分线、对应高的比都等于相似比．
其符号语言：如图，
①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，
③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，
提示：三角形的高、中线、角平分线是三角形的重要线段，在涉及以上线段的证明或计算时，要注意运用相似三角形的性质定理．
（3）相似三角形的周长的比等于相似比．
如图，其符号语言：
提示：性质(1)(2)(3)可简记为：相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比．
（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
①相似三角形面积的比等于相似比的平方，即 ，则
这一结果在解决有关相似三角形面积问题时，可以直接应用；
②“等高的三角形面积比等于底的比”、“等底的三角形面积比等于高的比”，这一结论不要与“相似三角形面积的比等于相似比的平方”混淆；
③利用相似三角形的性质解题时，应首先想到由相似三角形的定义得到的基本性质；对应角相等，对应边成比例；
5、相似三角形的应用
利用相似三角形的有关性质，把实际问题转化为数学模型，解决实际问题．
二、重难点知识讲解
1、记两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；②与全等三角形对应角(边)的识别有类似之处，相等的对应角所对的边是成比例的对应边；反之成比例的对应边所对的角是相等的对应角．
2、相似三角形的相似比是有顺序的．
如：△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，则 ，如果写成△A′B′C′∽△ABC，它们的相似比为k′， ，因此， ．
3、全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形并不一定是全等三角形．
4、传递性：若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″．
5、判定方法1是判定三角形相似的常用的方法．在两个三角形中，只要满足两个角对应相等，那么这两个三角形相似，证明时，关键是寻找对应角；一般地，公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意．
6、当两个三角形有两组对应边的比相等时，可考虑用判定方法2证明两个三角形相似；定理可类比全等三角形的“边角边”定理，要特别注意“夹角”的含义，一定要扣住“对应”二字，写三角形相似时要把对应顶点写在对应的位置上．
7、判定方法3和全等三角形的“边边边”定理类似，即三组对应边的比相等，就可以判定两个三角形相似．
8、有关三角形的相似的基本图形．
（1）平行线型(如图)
（2）双直角三角形中的相似三角形(如图)
△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD
AB2=BD·BC，AC2=CD·CB，AD2=BD·DC
三、典型例题讲解
例1、如图，△AOB与△COD相似，∠A=∠C，下列各式正确的有( )
①∠B=∠D，② ，③ ，④ ，⑤ ．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
分析：
∵∠A=∠C，∠AOB=∠COD(对顶角相等)，∴∠B=∠D，∴△AOB与△COD的对应顶点是A与C、B与D、O与O，应记作△AOB∽△COD，∴ ，故只有①⑤正确．
解：C
反思：解这类问题的关键是找到正确的对应角与对应边．
例2、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；
(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．
分析：
(1)根据题设，观察图形易见，可证△DEF与△ABC的三边对应成比例；
(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．
点拨：①第(1)题，若点O在△ABC外，其他条件不变，结论仍成立；
②第(2)题也可用判定定理2，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF相似，显然，以上证法较简便．
例3、已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE=180°．
(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得添加其他字母和线)；
(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．
分析：
先由角的关系入手，由∠BDE＋∠BCE=180°和图形中∠BDE＋∠ADE=∠BCE＋∠ECF=180°，可得∠BDE=∠ECF，∠ADE=∠BCE，易得△ADE∽△ACB(∠A为公共角)、△ECF∽△BDF(∠F为公共角)，其次，由△ECF∽△BDF得 ，可得△FDC∽△FBE(∠F为公共角)．
解：
(1)△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE．
(2)①△ADE∽△ACB．证明如下：∵∠BDE＋∠BCE=180°，
又∵∠BDE＋∠ADE=180°，∴∠ADE=∠BCE．
∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．
②△ECF∽△BDF．证明如下：
∵∠BDE＋∠BCE=180°，
又∵∠BCE＋∠ECF=180°，∴∠BDE=∠ECF．
∵∠F=∠F，∴△ECF∽△BDF．
③△FDC∽△FBE．证明如下：
∵∠BDE＋∠BCE=180°，
又∵∠BCE＋∠ECF=180°，∴∠BDE=∠ECF．
∵∠F=∠F，∴△ECF∽△BDF．
∴ ．
∵∠F=∠F，∴△FDC∽△FBE．
反思：这是一道结论开放型试题，这种题型要求根据题意去探求，往往结论不唯一，具有开放性，解题时，要充分利用已知条件进行大胆而合理地猜想，发现结论，这就要求平时要注意发散性思维和所学基本知识的应用能力的培养．
例4、已知如图，在梯形ABCD中，AB=5，CD=2，对角线AC、BD交于点O，求△COD、△AOD、△AOB与△BOC的面积比．
 
解析：
△COD与△AOB是相似三角形，可利用面积比等于相似比的平方．而△AOD与△COD是等高不同底的三角形，其面积比等于它们底的比．
解：
∵CD∥AB
∴△AOB∽△COD
∴S△COD:S△AOB=CD2:AB2=4:25
又∵CO:OA=CD:AB=2:5
∴S△COD:S△AOD=2:5=4:10
∵DO:OB=CD:AB=2:5
∴S△COD:S△BOC=2:5=4:10
∴S△COD:S△AOD:S△AOB:S△BOC=4:10:25:10
点拨：注意：(1)不是相似三角形的面积比不能乱用相似比的平方．
(2)将S△COD:S△AOD的比2:5化为4:10，目的是与前面的比统一．
例5、如图，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约有12个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约60cm，求电线杆的高．
分析：
在图上标出字母，题设中“30米”是点A到电线杆BC的距离；臂长AN=60cm=0.6m，是点A到竖直小尺DE的距离，故可用相似三角形的性质(1)列方程解之．
解：
作AM⊥BC于M，交DE于N．设电线杆高BC=x米，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ．解得x=6(米)．
答：电线杆的高约6米．
点拨：本题根据相似三角形的性质定理(2)——相似三角形对应高的比等于相似比，得出比例式，列出方程求解．
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