1、三角形中位线
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图.在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是△ABC的一条中位线.
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
用符号语言表述为：如图，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且
.
2、梯形中位线
（1）梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
如图，在梯形ABCD中，点E、F分别是腰AB、DC的中点，则线段EF是梯形ABCD的中位线 .
（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
用符号语言表述为：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是腰AB、DC的中点，则EF∥AD∥BC，且
.
3、三角形的重心及性质
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边的中点的连线的长是对应中线长的
．
1、三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连接一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段.一个三角形有三条中位线和三条中线.三条中线交于一点．
2、三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，它说明三角形中位线与第三边的位置和大小关系．也是我们将来解决线与线之间平行关系和倍分关系的一种重要方法．一般地，若已知三角形的中点，就要联想运用三角形的中位线定理，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.
3、梯形中位线的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：可以证
明一线段是另一条线段的2倍或
；
4、梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理来证明的．
5、梯形的面积公式为
，其中l1、l2分别为梯形的两底边的长，h为梯形的高，现在有了梯形中位线，这一公式可以简化为S=lh，其中l为梯形中位线的长，h为梯形的高．
6、三角形中位线定理证明的其它方法
(1)通过旋转图形构造基本图形──平行四边形．（2）过三个顶点分别向中位线作垂线．
7、梯形中位线定理证明的其它方法
梯形中位线定理的证明，采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线问题来证明．梯形辅助线的几种作法．
例1、AD为△ABC的高，∠B=2∠C，M为BC的中点．求证：DM=
AB．
分析：
由M为BC中点，要证DM=
AB，联想利用中位线定理构造
AB，即取AC的中点N，连接MN，DN，只须证明MN=DM，这可由在直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半及∠B=2∠C证得．
证法一：
取AC的中点N，连接MN、DN．
又∵M为BC中点，
∴MN//AB，MN=
AB，
∴∠B=∠NMC．
∵AD为△ABC的高，N为AC的中点，
∴DN=CN，
∴∠C=∠NDC．
∵∠NMC=∠NDC＋∠MND，∠B=2∠C，
∴∠MDN=∠MND，
∴MD=MN，
∴DM=AB．
证法二：
取AB的中点P，连接DP、MP，则PM为△ABC的中位线．
∴PM//AC，∴∠C=∠PMB．
又∵AD为△ABC的高，P为AB的中点，
∴PD=PB=
AB，
∴∠B=∠PDB．
∵∠PDB=∠PMB＋∠DPM，∠B=2∠C，
∴∠DPM=∠DMP，
∴PD=DM=
AB．
点拨：如果题目中有线段倍分并有中点，解题思路经常构造中位线把问题转化；在证线段倍分时，也经常用到“斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论证题．
例2、已知正方形ABCD中，AC、BD交于O点，AE平分∠BAC，分别交BC、BO于点E、F，求证：OF=
CE．
分析：
注意到图形中点O是AC的中点，因此取AE的中点G．连接OG，则OG=
CE，故只须证明OG=OF即可．
证明：
取AE的中点G，连接OG，则OG是△AEC的中位线．由中位线定理，得OG//CE，OG=
CE．
∴∠3=∠4．
∵∠OFG=∠1＋∠5，∠OGF=∠2＋∠3=∠2＋∠4，∠1=∠2，∠4=∠5=45°，
∴∠OFG=∠OGF，
∴OG=OF，
∴OF=
CE．
点拨：平面几何中的常用辅助线可以创造出中位线，这就是把未知问题转化为已知问题的一种途径．
例3、如图，梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为对角线BD、AC的中点．求证：
（1）EF//BC；（2）EF=
(BC－AD)．
分析：
EF虽然为连接BO、AC的中点的线段，但并非是三角形或梯形中位线，所以作辅助线将其转化为三角形的中位线，连接AE并延长BD于G，只需证明E为AG的中点即可．
证明：
连接AE并延长交BC于G．
(1)在梯形ABCD中，AD//BC，
∴∠ADE=∠GBE，DE=BE，∠AED=∠GEB，
∴△ADE≌△GBE，
∴AE=GE，AD=GB．
∵AF=CF，
∴EF//BC，EF=
GC．
(2)∵GC=BC－BG=BC－AD，
∴EF=
(BC－AD)．
点拨：通过辅助线AG，把线段EF放入△AGC中，然后证明EF为△AGC的中位线，两个结论一目了然．
例4、如图，等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F，MN是梯形ABCD的中位线．
求证：DF=MN．
分析：
由于梯形两条对角线互相垂直，因此可考虑平移对角线．
证明：
过D点作DG∥AC，交BC延长线于点G，则AD=CG，AC=DG．
∵AC⊥BD，AC∥DG，∴BD⊥DG，
又∵BD=AC=DG，
∴△BDG是等腰直角三角形．
∵DF⊥BG，
∵MN是梯形ABCD的中位线．
∴DF=MN．
例5、已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长。
分析：
G是三角形的重心，三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍，所以G到AC中点的距离等于BG的一半。三角形AGC是直角三角形，斜边上的中线可求．
解：
延长BG交AC于D，则D是AC的中点，
∵AG⊥GC，AG=3，GC=4，∴AC=5，GD是斜边AC上的中线，∴GD=
．
又BG=2GD，∴BG=5．
