主讲：高级教师　余国琴

一周强化

一、一周知识概述

1、借助工具进行测量，将实际问题准确地转换成几何图形，明确边角对应关系．

2、锐角的三角函数

　　在直角三角形中，锐角A的正弦(sinA)、余弦(cosA) 、正切(tanA)，都叫做∠A的三角函数．

　　正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

　　余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即.

　　正切：锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．即．

　　余切：锐角A的邻边与对边的比，叫做∠A的余切，记作cotA．．

3、特殊角的三角函数值（需要记忆）

	0°	30°	45°	60°	90°
sinA	0				1
cosA	1				0
tanA	0		1		—
cotA	—		1		0

4、同角三角函数间的关系

（1）平方关系：sin2A＋cos2A=1

（2）倒数关系：

（3）商数关系：

5、互余的两角的关系

　　任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A＋B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

6、求已知锐角的三角函数值法

　　求整数度数的锐角三角函数值．

　　在计算器的面板上涉及三角函数的键有键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果．

例如：计算sin44°．

解：

　　按键，再依次按键．

　　则屏幕上显示结果为0.69465837．

　　求非整数度数的锐角三角函数值．

　　若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按、和三个键之一，然后再依次按度键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果．有的计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，则必须先把度、分、秒统一为“度”．

　　值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同．

二、重难点知识归纳

1、对锐角三角函数的理解

　　（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A．

　　(2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．

　　(3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)，sinA·sinB≠sin(AB)

　　(4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2

　　(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1

2、同名三角函数值的变化规律

　　当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．

3、记忆特殊角的三角函数值的方法有三种：

　　（1）列表法，就是利用课本上的表格记忆。

　　（2）寻找规律法，从课本表格中寻找数字间的规律熟练记忆。如0°、30°、45°、60°、90°的正弦值，分母都是2，分子依次为；而余弦值正好反过来。它们的正切值，分母都是3，分子依次为0、、、、；而余切值刚好反过来。

　　（3）图形推导法，当记忆不准确时，可在特殊角的直角三角形中利用定义进行推导。

4、恰当地选择锐角三角函数的关系式由三角形中的已知边、角求未知边、角，应用三角函数解决几何问题．

三、典型例题讲解

例1、(1)△ABC中，∠C=90°，则BC︰AC等于（　）

　　　　　A．3︰4　　　　　　　　　　　B．4︰3

　　　　　C．3︰5　　　　　　　　　　　D．4︰5

分析：

　　根据题意画出图形，如图所示，由正弦的概念可知，

　　设BC=3k，则AB=5k，由勾股定理得∴BC︰AC=3k︰4k=3︰4．

　　(2)如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是(　)

　　　

分析：

　　因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．

答案：D

例2、求下列各式的值

　　　

例3、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．

分析：

　　题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．

点评：

　　1、在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．

　　2、有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．

例4、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．

分析：

　　由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．

例5、如图所示，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1m)

分析：

　　本题考查利用锐角三角函数解答实际问题．由于EF=ED＋DF，因此在Rt△DCF中可求出DF，在Rt△ADE中可求出DE．

解：

　　在Rt△CDF中，CD=5.4，∠DCF=40°．

　　∴DF=CD·sin40°≈5.4×0.64≈3.46．

　　在Rt△ADE中，AD=2.2，∠ADE=90°－∠CDF=40°．

　　∴DE=AD·cos40°≈2.2×0.77≈1.69，

　　∴EF=DF＋DE≈3.46＋1.69≈5.2(m)．

答：车位所占街道的宽度为5.2m．

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