1、解Rt△的定义
直角三角形除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角．由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2、解Rt△按元素分类的两种情况
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角．
3、解Rt△的常用元素间的关系
在Rt△ABC，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则：
(1)三边之间的关系：a2＋b2=c2(勾股定理)；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边角之间关系：
（4）面积关系：
（5）外接圆半径
内切圆的半径
说明：
(1)如无特别说明，“在△ABC中，∠C为直角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c”简写为“在Rt△ABC中”．
（2）解直角三角形进行近似计算时，除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′．
1、在直角三角形中，只要知道其中两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的3个元素．
2、直角三角形的解法按除直角外已知二个元素的不同情况可大致分为四种类型．
（1）已知一个锐角A和一条直角边a时，如图，则∠B=90°－∠A，
.
（2）已知两直角边a、b，如图，则
，由
，可求∠A，则∠B=90°－∠A.
（3）已知斜边和一直角边，如c、a，如图，则可求
，由
，可求出∠A，∠B=90°－∠A.
（4）已知一斜边和一锐角，如c，∠A，如图，∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA
.
3、在已知一边一角求其它元素时，一般情况下可采用“知斜用弦，无斜用切”的原则.
例1、在Rt△ABC中，已知
，∠A=45°，解这个直角三角形．
分析：∵c是斜边，∴应选择正弦或余弦的关系式．
解：∵∠A=45°，∴∠B=45°．
点评：灵活地选择关系式，可使运算简便．
例2、已知，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D在AC上，且∠BDC=60°，AD=20，求BC．
分析：
利用间接的已知条件来解直角三角形，往往要建立方程，即把代数知识与几何知识、三角知识综合起来运用．
解：设DC=x．
例3、已知：如图，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=
，求BC的长．
分析：
解直角三角形时，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化为直角三角形中去，转化的途径有：作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等.
解：
过A作AD⊥BC，构造直角三角形，在Rt△ABD中，
在Rt△ACD中，
又因为AB－AC=
解得AD=1.
在Rt△ABD中，BD=AD·tan∠BAD=
在Rt△ADC中，CD=AD·tan∠CAD=1，
故BC=BD＋DC=
例4、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，请你求出这块花圃的面积．
分析：
这一实际问题的数学模型是在△ABC中，∠A=30°，AC=40m，BC=25m，求△ABC的面积，它给出了两边和一边的对角，因此△ABC不唯一，要分情况讨论．
解：分两种情况计算．
(1)如图，过点C作CD⊥AB于D．
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=40，
点评：适当添加辅助线，把一般三角形问题转化为解直角三角形问题．注意分类讨论．
例5、已知△ABC的三边是a、b、c，其中a、b是方程
的两个根，且a>b，方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)=0有两个相等的实数根，求三个内角的度数和三条边的长．
分析：
△ABC中的六个元素中，其中a、b是前一个一元二次方程的两根，可得a,b，结合方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)=0有两个相等的实数根求c边和角．
解：
由方程
，利用求根公式得到x1=4,x2=
又∵a＞b，∴
又由方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)=0，整理得：
(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)=0，∵判别式△=0.
∴4b2－4(c2－a2)=0，则b2＋a2=c2，∴△ABC是Rt△，∠C=90°.
则
则∠A=60°，∴∠B=30°，c=2b=2×4=8.
