主讲：方敏文

一周强化

一、一周知识概述

1、二次函数y=ax2＋bx＋c和一元二次方程ax2＋bx＋c=0的关系

　　一元二次方程ax2＋bx＋c=0就是二次函数y=ax2＋bx＋c在函数y的值为0时自变量x的取值情况.

　　二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点，当二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.

　　当抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，此时，b2－4ac＞0；当抛物线与x轴有一个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，此时b2－4ac=0；当抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0没有实数根，此时，b2－4ac＜0．反之也成立．即b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b2－4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相同的实数根，抛物线与x轴有唯一交点；当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0无实数根，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴无交点．

　　由于二次方程ax2＋bx＋c=0是二次函数y=ax2＋bx＋c当y=0时的特殊情形，所以二次方程与二次函数有着必然联系．在研究二次方程时，要考虑借助二次函数求解；在研究二次函数时，要考虑借助二次方程求解．

2、用图象法求一元二次方程的近似根

　　由二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点和一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的关系，从理论上讲，我们可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根，但必须明确，这种求根方法只能算作是一元二次方程的近似解法.

　　一元二次方程的图象解法体现了数形结合思想方法，我们从中可以发现二次函数与一元二次方程之间的必然联系，由于一元二次方程是二次函数的特殊情形(即y=0时的情况)．一方面，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，另一方面也可以借助一元二次方程的根来判断图象的位置，使所画抛物线比较准确，那么如何运用二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根呢？下面提供三种方法．

　　(1)直接作函数y=ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根．

　　(2)先将方程变形为ax2＋bx=－c，再分别作抛物线y=ax2＋bx和直线y=－c，则直线y=－c与抛物线y=ax2＋bx的交点的横坐标就是方程的根．

　　(3)先将方程变形为ax2=－bx－c，再分别作抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，则直线y=－bx－c与抛物线y=ax2的交点的横坐标就是方程的根．

二、重难点知识

重点：二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程的根的关系

难点：二次函数与一元二次不等式的关系：对于y=ax2＋bx＋c，

　①当x取何值时，y=0，即求方程ax2＋bx＋c=0的解；

　②当x取何值时，y＞0，即求不等式ax2＋bx＋c＞0的解；

　③当x取何值时，y＜0，即求不等式ax2＋bx＋c＜0的解.

三、典型例题讲解

例1、已知二次函数y=x2－(m2＋5)x＋2m2＋6，试问该函数的图象与x轴是否有两个交点？若有两个交点，试求出其中一个交点坐标；若没有交点，请说明理由．

分析：

　　解题关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来探究．

解：

　　∵在一元二次方程x2－(m2＋5)x＋2m2＋6=0中，a=1，b=－(m2＋5)，c=2m2＋6，

　　∴b2－4ac=[－(m2＋5)]2－4×1×(2m2＋6)=m4＋2m2＋1=(m2＋1)2＞0．

　　∴该方程有两个不相等的实数根．

　　∴二次函数y=x2－(m2＋5)x＋2m2＋6变形得y=x2－5x＋6＋m2(2－x)．

　　令x=2，y=22－5×2＋6＋m2·(2－2)=0．即二次函数y=x2－(m2＋5)x＋2m2＋6的图象必经过x轴上的点(2,0)．

反思：

　　对于抛物线y=x2＋kx＋k，若必经过某定点，那么交点坐标与k的取值无关．

例2、已知：抛物线y=x2－mx＋与抛物线y=x2＋mx－m2在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x轴交于A、B两点．

　　（1）试判断哪一条抛物线经过A、B两点？并说明理由．

　　（2）若A、B两点到原点的距离OA、OB满足，求经过A、B两点的抛物线的关系式。

分析：

　　（1）经过A、B两点的抛物线的△＞O；

　　（2）可根据一元二次方程根与系数关系来解．

　　解法一：（1）y=x2－mx+中△1=m2－2m2=－m2.

　　∵抛物线不过原点，∴m≠0，∴－m2﹤0，∴△1﹤0.

　　∴抛物线y=x2－mx＋与x轴无交点．

　　y=x2＋mx－m2经过A、B两点．

　　（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1＜0，x2＞0，∴OA=－x1，OB=x2.

　　又∵,∴，即3（x1＋x2）=2x1x2.

　　又∵x1，x2是方程x2＋mx－m2=0的两根，∴x1＋x2=－m，x1x2=－m2.

　　∴－3m=-m2.∴m1=0（不符合题意，舍去），m2=2.

　　∴经过A、B两点的抛物线为y=x2＋2x－3.

　　解法二：（1）∵两条抛物线都不过原点，∴m≠0．

　　抛物线y=x2－mx＋与y轴交于(0，).∵﹥0，

　　∴抛物线y=x2－mx＋不经过A、B点．

　　抛物线y＝x2＋mx－m2与y轴交于（0，－m2），－m2﹤0，

　　∴抛物线y=x2＋mx－m2经过A、B两点．

　　（2）同解法一中的（2）.

反思：

　　根据图象解决二次函数问题，可由抛物线开口方向，对称轴位置，顶点位置，与x轴交点个数，与y轴交点位置等来确定系数的关系．

例3、利用二次函数的图象求一元二次方程x2－x－3=0的近似根(精确到0.1)．

分析：

　　因为二次函数y=x2－x－3与x轴交点的横坐标即为一元二次方程x2－x－3=0的解，所以可通过作二次函数y=x2－x－3的图象来求方程x2－x－3=0的近似根．

解：

　　在平面直角坐标系内作出函数y=x2－x－3的图象，如图所示．由图象可知方程有两个实数根：一个在－2和－1之间，另一个在2和3之间．

　　(1)先求－2和－l之间的根，利用计算器探索如下：

x	－1.1	－1.2	－1.3	－1.4
y	－0.69	－0.36	－0.01	0.36

　　因此，x=－1.3是方程的一个近似根．

　　(2)另一个根也可类似地求出：

x	2.1	2.2	2.3	2.4
y	－0.69	－0.36	－0.01	0.36

　　因此，x=2.3是方程的一个近似根．

　　所以一元二次方程x2－x－3的近似根为x1=－1.3，x2=2.3．

反思：

　　解本类型题的基本方法是先作出二次函数的图象，并根据图象确定一元二次方程的解的个数；再由二次函数图象与y=h的交点位置确定交点，横坐标的范围；最后利用计算器估算方程的近似根(通常保留一位小数)．

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