一周强化

一、知识要点概述

1、解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角．

2、直角三角形中的关系

在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有下列关系：

（1）三边的关系：a2＋b2=c2；

（2）角的关系：A＋B=90°；

（3）边角间的关系：

tanB=

（4）面积关系：

（5）外接圆半径内切圆的半径

3、解直角三角形中的几个概念

　　①仰角、俯角

　　视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角（如图1）

　　②坡度、坡角

　　坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i=，坡面与水平面的夹角叫做坡角α，（如图2）

　　③方位角

　　从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图3中，OA，OB，OC的方位角分别为∠DOA，∠DOB，∠DOC.

　　④方向角

　　在平面上，过观测点O作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图4中，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°（东南方向）.南偏西60°，北偏西60°.

4、直角三角形的解法的几种类型

　　（1）已知一个锐角和一条直角边a时，如图，则∠B=90°－∠A，.

　　（2）已知两直角边a、b，如图，则，由，可求∠A，则∠B=90°－∠A.

　　（3）已知斜边和一直角边，如c、a，如图，则可求，由，可求出∠A，∠B=90°－∠A.

　　（4）已知一斜边和一锐角，如c，∠A，如图，∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA.

5、应用解直角三角形知识解题注意的问题

　　（1）审题，弄清仰角，俯角，坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念；

　　（2）认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形．对于非基本的题型可通过解方程（组）来转化为基本类型，对于一些较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．

　　作辅助线的一般思路是①画垂线构造直角三角形，对于非直角三角形添加恰当的辅助线分割成规则的几何图形. ②利用图形本身的性质，如等腰三角形底边上的高，顶角的平分线，将已知角分出特殊角．

　　（3）选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便.

　　（4）按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按照题目中要求的精确度确定答案，并标注单位．

二、本周重难点知识

1、重点：

①掌握解直角三角形的必需的两个条件（至少有一条边）；

②通过作辅助线，解决实际问题.

2、难点：如何将一般三角形通过作辅助线将问题化为可解.

三、典型例题讲解

1、解直角三角形

例1、已知：如图，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=，求BC的长.

分析：

　　解直角三角形时，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化为直角三角形中去，转化的途径有：作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等.

解：

　　过A作AD⊥BC，构造直角三角形，在Rt△ABD中，

　　

　　在Rt△ACD中，

　　又因为AB－AC=解得AD=1.

　　在Rt△ABD中，BD=AD·tan∠BAD=1×tan60°=

　　在Rt△ADC中，CD=AD·tan∠CAD=1×tan45°=1，

　　故BC=BD＋DC=

例2、如图在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC.

（1）求证：AC=BD；

（2）若BC=12，求AD的长.

分析：

　　利用锐角三角函数证明线段相等也是证明线段相等的一种常用的重要方法.

　　（1）证明：在Rt△ABD和Rt△ACD中，

　　

　　又tanB=cos∠DAC，∴AC=BD.

　　（2）解：在Rt△ABD中，由

　　可设AD=12k(k>0)，则AC=13k，

　　

　　由（1），知BD=AC=13k，∴BC=BD＋CD=12，

　　即13k＋5k=12，

例3、已知△ABC的三边是a、b、c，其中a、b是方程的两个根，且a>b，方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)=0有两个相等的实数根，求三个内角的度数和三条边的长.

分析：

　　△ABC中的六个元素中，其中a、b是前一个一元二次方程的两根，可得a,b，结合方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)=0有两个相等的实数根求c边和角．

解：

　　由方程，利用求根公式得到x1=4,x2=

　　又∵a＞b，∴

　　又由方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)=0，整理得：

(c－a)x2＋2bx＋(c＋a)=0，∵判别式△=0.

∴4b2－4(c2－a2)=0，则b2＋a2=c2，∴△ABC是Rt△，∠C=90°.

则则∠A=60°，∴∠B=30°，c=2b=2×4=8.

2、解直角三角形的应用

例4、为申办 冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？

分析：

　　解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.

　　要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.

解：

　　过点C作CE⊥AB，垂足为E.

　　在Rt△CBE中，

在Rt△CAE中，

故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）<8（米）.

因此可判断该保护物不在危险区内.

例5、如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里。

　　⑴若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。

　　⑵轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去。为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数，）？

分析：

　　（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为t小时，此时，轮船在C处，台风中心到达E处（如图），则有AC2＋AE2=EC2，显然，AC=20t里，AE=AB－BE=100－40t，EC=20，则（20t)2＋(100－40t)2=(20)2，若可求出t，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。

　　（2）先求出台风抵达D港的时间t，因AD=60，则60÷t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。

解：

　　（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连结CE，则有AC=20t，AE=100－40t，EC=20，在Rt△AEC中，由勾股定理，得(20t)2＋(100－40t)2=(20 )2，

　　整理，得t2－4t＋3=0　　①

　　∵△=(－4)2－4×1×3=4>0,

　　∴途中会遇到台风。

　　解①得，t1=1,t2=3（舍去）

　　∴最初遇到台风的时间为1小时。

　　⑵设台风抵达D港时间为t小时，此时台风中心至M点。

　　过D作DF⊥AB，垂足为F，连结DM。

　　在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°

　　

　　又FM=FA＋AB－BM=130－40t，MD=20，

　　∴(30)2＋(130－40t)2=(20)2

　　整理，得4t2－26t＋39=0.

　　解之，得.

　　∴台风抵达D港的时间为小时。

　　∵轮船从A处用小时到达D港的速度为60÷≈25.5，

　　∴为使台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6海里/时。

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