一周强化

一、一周知识概述

1、投影的有关概念

　　（1）投影：用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影．

　　（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影．例如日影就是平行投影．

　　（3）从同一点(点光源)发出的光线形成的投影是中心投影．例如，物体在手电筒、路灯和台灯等发出的光照射下形成影子就是中心投影．

　　（4）平行投影和中心投影的区别：

　　①过两物体的顶点和影子的顶端作两直线，判别它们是太阳光线还是灯光的光线，就是判别两条(或几条)直线是平行的还是相交的．若两直线平行，则此光线为太阳光线，这时物体的影子是平行投影；若两直线相交于一点，则此光线为灯光的光线，这时物体的影子是中心投影．

　　②测量同一时刻物体的高度及其影长时，若两物体的高度之比等于其影长的比，则此时物体的影子是平行投影．若两物体的高度之比不等于其影长的比，则此时物体的影子是中心投影．

　　（5）正投影与斜投影

　　根据投影线与投影面是否垂直，平行投影分为正投影和斜投影．当投影线垂直于投影面产生的投影叫正投影，否则，产生的投影是斜投影．

　　物体的某个面的正投影与这个面不一定是全等图形，只有当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小才完全相同．

2、基本几何体的三视图

　　三视图是将物体向三个相互垂直的投影面作正投影所得到一组图形，它能真实反映物体的形状和长、宽、高。

　　画几何体的三视图的基本要求：

　　（1）三视图的位置关系先确定主视图的位置，画出主视图，然后在主视图正下方画出俯视图。在主视图正右方画出左视图。按照这种位置配制视图时，规定一律不标注视图的名称。

　　（2）三视图的大小关系在三视图中，主视图和俯视图表示同一物体的长，主视图和左视图表示同一物体的高，左视图和俯视图表示同一物体的宽。因此，在画三视图时要反映三视图之间的三等规律：

　　主视图和俯视图——长对正；

　　主视图和左视图——高平齐；

　　左视图和俯视图——宽相等。

　　这个规律也可称为三视图之间的投影规律，如图所示。

3、组合体的三视图

　　组合体比基本几何体复杂，但来源于基本几何体。只要先分析组合形式，把组合体分解为基本几何体，再按一个一个基本几何体画图，就可以画出组合体的三视图。

　　画三视图前应仔细观察几何体的特点，弄清看得见和看不见的部分的特征。画图时规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线。

4、由三视图想象立体图形（实物）

　　由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形。

　　对常见的几何体（圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的三视图要非常熟悉，这是由视图转化为立体图形的基础。

5、三视图、展开图与几何体间的转化

　　由物体的三视图，求几何体的表面积（或体积）：首先由三视图想象出物体的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算面积。

二、典型例题讲解

例1、判断下列说法是否正确，对的划“√”，错的划“×”．

(1)直线的平行投影一定是直线（　）

(2)矩形的正投影一定是矩形（　）

(3)一个图在平面上的平行投影可能是圆，也可能是椭圆或线段（　）

分析：

　　要从图形与投影面的位置关系(平行、垂直、倾斜)考虑．

　　(1)当直线垂直于投影面时，它的正投影是一个点；

　　(2)当矩形倾斜于投影面时，它的正投影可能是平行四边形；当矩形垂直于投影面时，它的正投影是一条线段．

　　(3)正确．

答案：（1）×　　（2）×　　（3）√

点评：

　　判断物体的某个面的平行投影的形状，要从正投影和斜投影两方面考虑，当它是正投影时，还要考虑物体的某个面与投影面的位置关系，是平行还是垂直，或是倾斜于投影面，总之，应充分考虑多种可能性．

例2、如图，是两颗小树在同一时刻的影子，请在图中画出形成树影的光线，并说明它们是在太阳光下形成的，还是在灯光下形成的？

分析：

　　过两棵小树的顶端及其影子的顶端作两直线，看两条直线是平行的还是相交的，若两直线平行，则是太阳的光线，若两直线相交，则是灯光的光线．

解：

　　(1)是灯光下形成的．因为过大树的顶端及影子的顶端作直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作直线，两条直线是相交(交点是光源的位置)的；

　　(2)是太阳下形成的，过大树的顶端及其影子的顶端作一杂直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，由于这两条直线互相平行，所以是在太阳光下形成的．

例3、投影线的方向如箭头所示，画出如图中圆锥的正投影．

分析：

　　(1)当投影线由物体上方射到下方时，圆锥的侧面的投影在底面圆上，因此此时的正投影是一个圆；

　　(2)当投影线由物体左方射到右方时，圆锥的侧面的投影是三角形(无底边)，底面圆的投影成一条线段(即圆的直径)，所以此时的正投影是三角形．

解：

　　(1)正投影是一个圆；(2)正投影是一个三角形．

　　如图所示：

点评：

　　在具体观察物体某个面的正投影时，以自己的视线当投影线，从而抽象出这个面的正投影主要的轮廓线，于是得到它在投影面上的正投影．

例4、如图，将球放在桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF为球的直径，若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=30°，请计算出球的直径．(精确到1cm)．

分析：

　　由图可知，线段EF为球的直径，但它与已知条件中的AB没有直接联系，如何建立关系呢？联想到平行线间的距离相等，于是平移线段EF至AG处，即过点A作AG⊥BC于G，此时EF=AG，这样即可求出EF的长．

解：

　　如图，过A作AG⊥BC于G，

　　∵AD∥BC，∴AG=EF

　　∴在Rt△ABG中，

点评：

　　在解决平行投影的有关问题时，要充分利用光线平行的性质，建立线段或比例(相似形)的数学模型，或平移线段等解决问题．

例5、画出如图所示一些基本几何体的三视图。

分析：

　　视图是从实物中抽象出来的几何图形，应先观察实物在不同方位的特征，然后抽象分析出它的特征。（1）的主视图、左视图都是梯形，俯视图是两同心圆（无圆心）；（2）主视图是正六边形，俯视图能看到三个面，而左视图只能看到两个面；（3）、（4）注意俯视图形状。

解：

　　如图

点评：

　　（1）画三视图时应注意主、俯视图和左视图的位置和长、宽、高对正、相等、对齐的要求。

　　（2）在画圆台、球的俯视图时，不能添加圆心；在画圆锥、棱锥（指正立时）的俯视图时，不能遗漏锥体的顶点，在图形中间必须画上实点。

例6、画出图中物体的三视图

分析：

　　先将实际物体抽象成相应的几何体。（1）中物体可看成是一个长方体截去一个平放的四棱柱的组合图形；（2）中物体看作是一个长方体和圆柱的一半中挖去一个小圆柱的组合图形；（3）是圆锥和圆柱的组合体；（4）是长方体中挖去一个小圆柱后的几何体。

解：如图

点评：

　　画组合体的三视图时，特别要注意将看不见的部分的轮廓画成虚线，初学者往往漏画了看不见部分的轮廓线，或者是应画成虚线的错画成了实线。

例7、根据图中所示的三视图，分别说出它们表示的物体的形状。

分析：

　　（1）从正面、上面看立体图形，图象都是长方形；从侧面看，图象是圆，可以想象出：整体是圆柱（平放的）。

　　（2）是组合体，下面立体图形从三个方面看都是长方形，可以想象出下部是长方体，上面立体图形是正放的圆柱。

　　（3）从正面、侧面看外部立体图形，图象都是矩形；从上面看，图象是圆，可以想象出：外部是圆柱，类似的方法得到内部是圆柱（空心），所以整体是空心圆柱。

　　（4）从三个方向看左边立体图形，可以想象出左边是长方体；从正面、上面看右边立体图形，可以想象出是三棱柱，从左侧面，三棱柱三条棱（虚线）被遮挡，说明三棱柱上面是斜面，因此整体是长方体与三棱柱组合体。

解：

　　如图

点评：

　　对于一些简单物体的三视图，要能想象出物体的原型，这就要求我们对基本的几何体要非常熟悉；对于一些组合体的三视图，想象出立体图形，可采取“先猜想，后验证”的方法进行尝试，就是根据已知中的某两种视图的特征猜想出几何体形状，再验证这个几何体是否与第三个视图相吻合，这样不断地尝试、验证。当然也可用萝卜、土豆等材料动手操作，做出相应的实物模型，这也是培养空间想象能力、推理能力的很好办法。

例8、根据图中所示的三视图求几何体的表面积，并画出物体的展开图。

分析：

　　在实际的生产中，三视图和展开图往往组合在一起使用，解决本题的思路是：由三视图想象出几何体的形状，从而画出表面展开图，再由展开图计算面积。

解：

　　由三视图可知：几何体的形状是组合体，上部是圆锥，下部是圆柱。（如图所示）

　　由于圆锥的底面与圆柱上底面是重合的，因此展开图是圆锥的表面、圆柱的侧面和圆柱的下底面三部分。由展开图可知，这个几何体的表面积为：

　　

点评：

　　由三视图求几何体的表面积和体积，关键是由三视图想象出几何体的形状，特别是组合体的形状，更要准确把握。

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