1、二次根式
一般地，我们把形如
(a≥0)的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号．
2、二次根式有意义的条件
二次根式
有意义的条件是a≥0．
3、二次根式的性质1
(a≥0)是一个非负数．
4、二次根式的性质2
(
)2=a(a≥0)
5、二次根式的性质3
=a(a≥0)
6、二次根式的乘法法则
(a≥0，b≥0)
即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
7、积的算术平方根的性质
(a≥0，b≥0)
即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．
8、二次根式的除法法则
(a≥0，b＞0)
即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
9、商的算术平方根的性质
(a≥0，b＞0)
10、最简二次根式
满足下列条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式．
11、二次根式的加减法法则
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
12、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．
例1、已知x、y为实数，且实数m适合关系式
，试确定m的值．
思路：
∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199．
又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．
解：由二次根式有意义的条件知
∴x＋y=199
将其代入已知等式得
．
又根据算术平方根为非负实数有
②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得
m=x＋y＋2=199＋2=201．
总结：
当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．
例2、已知实数a、b在数轴上的位置如图．
化简：
．
思路：
待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的
，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．
解：
由数轴上点的位置可知a>b，0<a<1，b<－1，
∴a>0，b<0，a－b>0，b－1<0，a－1<0
思路：
（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小；
（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性．
例3、计算下列各题：
例4、化简：
另解
例5、观察下列各式及其验证过程：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并证明它成立．
思路：
（1）我们从两个特例入手，可以发现式子的结构特点：根号前面的数字因数和被开方数的分子相同，而分母等于分子的平方减1，于是易猜想出
的变形结果，并得到一般规律；
（2）由题设及（1）的验证结果，可猜想对任意自然数n（n≥2）都有：
．
总结：
（1）本题的结论没有明确给了，需要我们去寻求和发现，合理运用猜想，就能较快地找到结论或结果，解这类题目，通常先从特殊入手，分析归纳得到一般的结果；
（2）要学会类比思想，找出规律性的东西，这是现在中考中的创新题型；
（3）在本题的规律
中等式右边中切忌写成
．
例6、把下列各式化成最简二次根式：
思路：
（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．
总结：
（1）当被开方数中不含有分母，则用
积的算术平方根性质进行化简；
（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．
例7、计算：
思路：
先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．
总结：
解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．
例8、计算下列各题：
思路：
（1）题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；（2）～（4）题可仿用多项式乘法法则进行计算；（5）题可套用完全平方公式计算．
总结：
（1）“系数”相乘得“系数”，二次根式相乘的结果作为积中的另一个因式；
（2）类比单项式乘以多项式或多项式相乘时，要注意符号的处置；
（3）必须确定每一项的符号，最后结果都必须化简．
