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一、知识要点概述
1、矩形、菱形、正方形的定义、判定及性质
名称 |
判定 |
性质 |
矩形 |
1、有一个角是直角的平行四边形(定义)
2、有三个角是直角的四边形
3、对角线相等的平行四边形 |
除具有平行四边形的性质外，还具有以下性质
1、四个角都是直角
2、对角线相等
3、S=ab(a，b表示长和宽)
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 |
菱形 |
1、有一组邻边相等的平行四边形(定义)
2、四边都相等的四边形
3、对角线互相垂直的平行四边形 |
除具有平行四边形的性质外还具有以下性质
1、四条边都相等
2、对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角
3、 (l1，l2表示两对角线的长)
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形 |
正
方
形 |
1、有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形(定义)
2、一组邻边相等的矩形
3、一个角是直角的菱形
4、对角线相等且垂直的平行四边形 |
除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有以下性质：
1、对角线与边夹角为45°
2、S=a2(a表示边长) |
2、梯形、等腰梯形、直角梯形的定义、判定及性质
名称 |
判定 |
性质 |
一般梯形 |
一组对边平行另一组对边不平行的四边形(定义) |
1、一组对边平行，另一组对边不平行
2、 或S=l·h(a，b，h分别表示上底、下底和高，l表示中位线) |
等腰梯形 |
1、两腰相等的梯形(定义)
2、同一底上的两个角相等的梯形
3、两条对角线相等的梯形 |
除具有一般梯形的性质外，还有以下性质：
1、两腰相等，同一底上的两个角相等
2、对角互补，对角线相等
3、是轴对称图形 |
直角梯形 |
有一个角是直角的梯形(定义) |
除一般梯形的性质外，还有性质：
一底角是直角 |
3、三角形、梯形的中位线定理：三角形(或梯形)的中位线平行于底边(或两底)，并且等于底边(或两底和)的一半．
4、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
推论2：过梯形一腰中点且平行于两底的直线必平分另一腰．
二、典型例题剖析
例1、已知四边形ABCD和对角线AC、BD，顺次连结各边中点得四边形MNPQ，给出以下六个命题：
①若所得四边形MNPQ为矩形，则原四边形ABCD是菱形；
②若所得四边形MNPQ为菱形，则原四边形ABCD是矩形；
③若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；
④若所得四边形MNPQ为菱形，则AC=BD；
⑤若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90°；
⑥若所得四边形MNPQ为菱形，则AB=AD．
以上命题中，正确的是（ ）
A．①② B．③④
C．③④⑤⑥ D．①②③④
答案：选B．
例2、下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是梯形；②一组对边平行且不相等的四边形是梯形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形；④一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形．其中真命题的序号是__________．
分析：
可采用反例法，即举的例子符合题设但不符合结论，从而说明原命题是假命题．
①可举反例：平行四边形；
②可证得另一组对边不平行，故符合定义；
③可举反例：矩形；
④直线与矩形垂直相交，则得到两个矩形．
答案：②
例3、已知：如图AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形的面积是（ ）
A．130 B．140
C．150 D．160
分析：
要求梯形的面积，由于 ，而AE=12，所以关键是求(AB＋DC)的长，注意已知BD和AC，这样我们可过B作对角线AC的平行线交DC的延长线于F，则可证AB=CF，于是转化求(DC＋CF)的长，又过B作BH⊥DC于H，则BH=AE=12，现在只要求DH和HF即可．
在Rt△BDH中，利用勾股定理得 在Rt△BHF中， 故DF=DH＋HF=DC＋AB=9＋16=25．这样梯形的面积为 ．
答案：选C．
例4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G，H，若AD=6，BC=10，则GH=__________．
分析：
本题主要考查三角形、梯形的中位线定理．因为EF是中位线， ，EG、HF分别是△ABD、△ACD的中位线， ，故GH=EF－EG－HF=8－3－3=2．
答案：2．
例5、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积．
解：由△BCD沿直线BD折叠与△BC′D重合，
∠1=∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∠1=∠3，故△BED是等腰三角形．
∴BE=ED．
设ED=x，则AE=AD－ED=8－x．
在Rt△ABE中，AB2＋AE2=BE2，∴42＋(8－x)2=x2．
解之得x=5．
故
例6、如图，M、N分别是□ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB．求证：PMQN为矩形．
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AD BC．
又M、N分别是AD、BC的中点，
∴MD BN，BNDM为平行四边形．
∴BM∥ND，同理AN∥MC，
∴PMQN为平行四边形．
连结MN，
∵AM BN，∴ABNM为平行四边形．
又AD=2AB，M为AD中点，∴AM=AB．
∴ABNM为菱形，∴AN⊥BM．
∴PMQN为矩形．
说明：
本例是一道平行四边形、菱形、矩形性质定理和判定定理反复运用的较好的综合题，同学们认真体会其证题思路和证明方法．
例7、如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥AC且使AE=AC，又CF∥AE，求证： ．
分析：
按常规思路将∠AEB取半或将∠BCF加倍，但由于图形的“不规则”性，难于达到目的，易见AEFC为菱形，∠ACB=45°，若结论成立，则∠ACF=∠AEF=30°，不妨利用正方形和菱形的特性求出∠E=30°．
证明：连结BD交AC于O，作AH⊥BE于H．
∵ABCD为正方形，
∴AC与BD互相垂直平分于点O，且AO=BO．
已知BE∥AC，已知AH⊥BE
易证四边形AOBH为正方形，
 ．
∴∠AEH=30°
又BE∥AC，AE∥CF，AE=AC．
∴ACFE为菱形，∴∠AEF=∠ACF=30°，
又∠ACB=45°，∴∠BCF=15°．
 ．
例8、在梯形ABCD中，AD∥BC且AB=AD＋BC，M为DC的中点，求证：AM⊥BM．
分析：由题设AB=AD＋BC，应将两底集中．
证明：延长AM交BC延长线于N，
∵M是DC的中点，AD∥BC，
则△ADM≌△NCM．
∴AD=CN，AM=MN．
故AB=AD＋BC=CN＋BC=BN．
由等腰三角形“三线合一”知BM⊥AM．
说明：
根据证题的需要，集中梯形的两底是常用辅助线之一，本例也可以先延长BC到N使BN=AB，再证A、M、N共线而得．
例9、如图，在等腰梯形ABCD中AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E、F、G，求证：PE＋PF=BG．
证明：过P点作PH⊥BG于点H，
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴四边形PHGF为矩形．
∴PF=HG，PH∥CD，
∴∠BPH=∠C．
又在等腰梯形ABCD中AB=DC，
∵∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH．
故Rt△BPH≌Rt△PBE，∴BH=PE．
∴PE＋PF=BH＋HG=BG．
说明：在梯形的有关问题中常是化归为特殊的平行四边形及三角形来处理．
例10、如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC、BD交于O，且∠AOB=60°，又E、F、G分别为DO、AO、BC的中点，求证：△EFG为等边三角形．
分析：
这里中点较多，显然 ，又AD=BC，要能证EG，FG为BC的一半才行，但无法用中位线定理，只有另辟蹊径，注意∠AOB=60°．
证明：连结EC，∵ABCD为等腰梯形，
∴AD=BC且AC=BD，又DC=DC，
∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC．
∴△ODC为等腰三角形．
∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△ODC为等边三角形．
又E为OD中点，∴∠OEC=90°．
在Rt△BEC中，G为斜边的中点，
 ，
在△OAD中，∵E、F分别是OD、OA的中点，
 ，
∴△EFG为等边三角形．
说明：
本例中除揭示等腰梯形的诸性质外，还提醒同学们注意遇到中点应联想中位线，但不要只想到中位线，须将所学过的知识综合运用，这里运用了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
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