一、知识要点概述

1、比例线段的有关概念

　　（1）前项、后项：两条线段的比a︰b中，a叫比的前项，b叫比的后项．

　　（2）比例线段：四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段，简称比例线段．

　　（3）外项、内项、第四比例项：如果a︰b=c︰d，则a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项．

　　（4）比例中项：若a︰b=b︰c，则b叫a、c的比例中项．

2、比例的性质

　　（1）比例的基本性质：如果a︰b=c︰d，则ad=bc，其逆命题也成立．

　　　　 推论：如果a︰b=b︰c，则b2=ac，其逆命题也成立．

　　（2）合比性质：．

　　（3）等比性质：．

3、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两直线，所得的对应线段成比例．

　　推论1：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

　　推论1的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

　　推论2：平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

4、相似三角形的有关概念

　　（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形．

　　（2）相似比：相似三角形对应边的比．

5、三角形相似的判定

　　（1）两角对应相等，两三角形相似．

　　（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

　　（3）三边对应成比例，两个三角形相似．

　　（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

　　（5）直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似．

　　（6）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的三角形与原三角形相似．

5、相似三角形的性质

　　（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例．

　　（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

　　（3）相似三角形周长的比等于相似比．

　　（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方．

6、锐角三角函数

　　在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则，且sinA，cosA在0～1内取值．

7、特殊角的三角函数值

8、互为余角的三角函数关系

锐角α与它的余角（90°－α）有如下关系：

sin(90°－α)=cosα，cos(90°－α)=sinα，

tan(90°－α)=cotα，cot(90°－α)=tanα．

9、同角三角函数间的关系

（1）平方关系：sin2α＋cos2α=1；

(2)倒数关系：tanα·cotα=1；

(3)商数关系：．

10、锐角三角函数的增减性

　　当角α在0°～90°间变化时，角α的正弦、正切值随角α的增大（或减小）而增大（或减小）；角α的余弦、余切值随α的增大（或减小）而减小（或增大），正弦值、余弦值均介于0～1之间，即0≤sinα≤1，0≤cosα≤1．

11、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则有下列关系：

　　（1）三边的关系：a2＋b2=c2；

　　（2）角的关系：A＋B=90°；

　　（3）边角的关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=cotB=，cotA=tanB=；

　　（4）面积关系：；

　　（5）外接圆半径：，内切圆半径：．

12、应用解直角三角形知识解题的步骤

　　（1）审题，弄清仰角、俯角、坡角等概念及题意．

　　（2）画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形添加适当的辅助线分割成规则的几何图形．

　　（3）选择合适的边角关系计算，确定结果．

13、应用中的几个概念

　　（1）仰角、俯角：视线与水平线所成的锐角中视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图（1）．

　　（2）坡角、坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度i，即，坡面与水平面的夹角叫坡角α，tanα=i=.(图2)

　　（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角．如（图3）中，OA、OB、OC的方位角分别为∠DOA、∠DOB、∠DOC．

　　（4）方向角：指北或指南方向线所成的小于90°的水平角叫方向角．如（图4）中OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°、南偏东45°（东南方向）、南偏西60°、北偏西60°．

二、典型例题剖析

例1、如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D在AC上，AD=12，在AB上取一点E，使得△ADE与原三角形相似，则AE的长为（　）

A．16　　　　　　　　　　　B．14

C．16或14　　　　　　　　　D．16或9

分析：要使两个三角形相似，但未指明对应关系，应进行分类讨论．

解：（1）如图，过D作DE//BC交AB于E（或∠ADE=∠C），

　　　　　　则△ADE∽△ACB，此时有，

　　　　　　∴AE=16．

　　　（2）如图，作∠ADE′=∠B，DE交AB于E′，

　　　　　　则△ADE∽△ABC，此时有

　　　　　　∴AE′=9．

　　　　　　综上所述AE=16或9．

答案：D

例2、已知三个数1，2，，请你再添上一个数（只填一个数）使它们能构成一个比例式，则这个数是_________．

解析：

　　此题设计较为开放，结论不唯一．由于题目没有明确告知构成比例的各数顺序，所以所添的数的位置较为灵活．从1︰2=︰x可求出；从1︰2=x︰，可求出；从1︰x=︰2可求出，故此题填以上三个数中的任意一个即可．

例3、如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点，DE//BC，且S△ADE︰S梯形DBCE=1︰3，那么AD︰AB=（　）

A．　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　D．

分析：

　　由S△ADE︰S梯形DBCE=1︰3知S△ADE︰S△ABC=1︰4．

　　由DE//BC得S△ADE∽S△ABC．

　　由相似三角形的面积比等于相似比的平方得，

　　∴AD︰AB=，故选C．

答案：C

例4、已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：FD2=FB·FC．

分析：

　　要证：FD2=FB·FC，可证：．

　　由于无法找到△FDB与△FCD，所以应将FD代换，根据EF是AD的垂直平分线的条件可联想到连接FA，则FD=FA．

　　用FA代替FD，得，由此可找到证明△FAB∽△FCA．

证明：连接FA．

　　　∵EF垂直平分AD，

　　　∴FD=FA，

　　　∴∠FDA=∠FAD．

　　　∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，

　　　∴∠FDA－∠BAD=∠FAD－∠CAD，

　　　∴∠B=∠FAC．

　　　又∵∠BFA=∠AFC，

　　　∴△FAB∽△FCA，

　　　，

　　　∴FA2=FB·FC，

　　　即FD2=FB·FC．

例5、计算：

分析：

　　（1）题综合考查特殊角的三角函数值及代数式的计算．将特殊角的三角函数值代入化简，并注意分母有理化，这类题型记准数值是前提，算准结果是关键．

　　（2）题要灵活运用同角的三角函数关系和互余的三角函数关系进行化简，要识别45°＋α与45°－α是互余关系．

解：

例6、已知：如图，∠B=30°，∠C=45°，AB－AC=2－．求BC的长．

分析：

　　解直角三角形时，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化为直角三角形中去．转化的途径有：作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．

解：

　　过A作AD⊥BC于D，构造直角三角形．

　　

例7、为申办 冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区．现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°．问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？

分析：

　　解决测量问题要明确仰角、俯角、坡度、坡角等名词术语．此题要考察距离B点8米远的保护物是否在危险区内．关键的一点是要测算树AB的高度．

解：过点C作CE⊥AB于E．

　　

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