例1、填空题
(1)如果单项式
与－2x3ya＋b是同类项，那么这两个单项式的积是__________．
(2)m，n满足|m－2|＋(n－4)2=0．分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．
例2、若3x3－x=1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2008的值．
分析：
此类代数式求值问题，一般采用整体代入法，即将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值．
解：由3x3－x=1得3x3－x－1=0
所以9x4＋12x3－3x2－7x＋2008
=3x(3x3－x－1)＋4(3x3－x－1)＋2012
=2012
例3、已知多项式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，求
的值．
分析：
由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6，根据多项式恒等的条件可列出关于m，n的二元一次方程组，进而求出m、n．
解：由题意得：
(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6
又因为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn
根据多项式恒等的条件，得：
点评：解此类题的关键是利用多项式恒等对应项的系数相等得到相关方程组，求待定系数．
分析：
本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故可利用平方差公式使计算简化．
点评：涉及与乘法有关的复杂计算，要创造条件运用公式简化计算．
例5、已知a、b、c，满足
，求(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值．
分析：
条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值．
例6、若2x3－kx2＋3被2x＋1除后余2，求k的值．
分析：
要求k的值，需找到关于k的方程，由2x3－kx2＋3被2x＋1除后余2，可知2x3－kx2＋1能被2x＋1整除，由此可得关于k的一次方程．
点评：关键是利用余数定理找出关于k的方程，当f(x)能被x－a整除时，f(a)=0．
例7、分解因式
(1)a4＋4；
(2)x3－3x2＋4；
(3)x2＋xy－6y2＋x＋13y－6；
(4)(x＋y)(x＋y＋2xy)＋(xy＋1)(xy－1)
解：(1)a4＋4=a4＋4a2＋4－4a2=(a2＋2)2－(2a)2=(a2＋2a＋2)(a2－2a＋2)
点评：
本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式去分解．
(2)解法一：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2＋4
=x2(x＋1)－4(x＋1)(x－1)
=(x＋1)(x－2)2
解法2：x3－3x2＋4=x3＋1－3x2＋3
=(x＋1)(x2－x＋1)－3(x＋1)(x－1)
=(x＋1)(x2－4x＋4)=(x＋1)(x－2)2
解法3：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2－4x＋4x＋4
=x2(x＋1)－4x(x＋1)＋4(x＋1)
=(x＋1)(x2－4x＋4)
=(x＋1)(x－2)2
点评：
这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．
(3)设x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y＋m)(x－2y＋n)
=x2－2xy＋nx＋3xy－6y2＋3ny＋mx－2my＋my
=x2＋xy－6y2＋(n＋m)x＋(3n－2m)y＋mn
比较左、右两边对应项系数得：
∴x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y－2)(x－2y＋3).
点评：
这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次式x2＋xy－6y2=(x＋3y)(x－2y)，由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此可用待定系数法分解．
(4)设x＋y=a，xy=b
则原式=a(a＋2b)＋(b＋1)(b－1)=a2＋2ab＋b2－1
=(a＋b)2－1=(a＋b＋1)(a＋b－1)
=(x＋y＋xy＋1)(x＋y＋xy－1)
=(x＋1)(y＋1)(x＋y＋xy－1)
点评：
整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设x＋y=a，xy=b进行代换后，再运用公式法和提公因式法来分解．
