1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．
2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．
(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1．
(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况：
①当a≠0时，方程有唯一解
；
②当a=0，b≠0时，方程无解．
③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．
3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0(a≠0)
其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．
4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的求根公式是：
注意：求根公式成立的条件为：①a≠0；②b2－4ac≥0．
5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即
；
当△＜0时，方程没有实根，反之成立．
6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则
7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(α＋β)x＋αβ=0．
8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．
9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．
10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解．
11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究．
点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧．
(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；
(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；
(3)恰当用整体思想．
例2、解下列关于x的方程．
(1)4x＋b=ax－8(a≠4)
(2)mx－1=nx
(3)
分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．
例4、已知m是整数，方程组
有整数解，求m的值．
分析：先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．
解：由原方程组解得
，
若y有整数解，则2m＋9=±1或±2或±17或±34，经检验当2m＋9=±1或±17时，m为整数且x也为整数，得m=4或－4或－5或－13．
例5、已知关于x的一元二次方程
有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；
例7、解下列方程
(2)3x2＋x－7=0
分析：
对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质．
对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式．
解：(1)原方程化简得
方程两边都乘以12(即去分母)得
3(35x－5)=4(5－x)－6(25x＋5)
去括号得：105x－15=20－4x－150x－30
移项及合并同类项得：259x=5
例8、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实根，试说明关于x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
分析：
由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的取值范围来说明(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
解：∵关于kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，
解得k＞4
当k=5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元一次方程，－14x＋5=0，此时方程的根为
．
当k≠5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元二次方程
∴△=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k=4(9k＋4)
∵k＞4且k≠5，∴△=4(9k＋4)＞0
∴此时方程必有两不等实数根，
综上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
点评：
(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别．方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程．
点评：
构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．
