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一周强化
一、一周知识概括
1、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
2、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质：
一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
③顶点坐标是(h，k)．
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，对二次函数y=ax2＋bx＋c可通过配方求其顶点坐标与对称轴．
二次函数y=ax2＋bx＋c总可通过配方得
即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当 时， ，在对称轴的左侧 ，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧 ，y随x的增大而增大．
当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当 时， ．在对称轴的左侧 ，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧 ，y随x的增大而减小，同时由于y=ax2＋bx＋c可化为 的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到．
第一步：若 时，把y=ax2的图象向右平移 个单位；若 时，把y=ax2的图象向左平移 个单位；
第二步：若 时，再把第一次平移后的图象向上平移 个单位；若 时，再把第一步平移后的图象向下平移 个单位．
抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
根据二次函数图象的基本特征，通常采用五点法．
步聚：（1）先根据函数的解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
（2）求出抛物线y=ax2＋bx＋c与坐标轴的交点；
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D，将这五个点按从左到右的顺序连接起来．
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图，如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接起来，画出二次函数的图象．
5、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式 |
作用 |
字母的符号 |
图象的特征 |
a |
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
|
a＞0 |
开口向上 |
a＜0 |
开口向下 |
c |
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c) |
c＞0 |
交点在x轴上方 |
c=0 |
抛物线过原点 |
c＜0 |
交点在x轴下方 |
|
决定对称轴的位置，对称轴是 |
ab＞0 |
对称轴在y轴左侧 |
ab＜0 |
对称轴在y轴右侧 |
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x-h)2＋k（h，k）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(x1，0)，(x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
（1）平移的方向的确定是一个难点，对此，我们可以通过顶点的变化情况来决定。例如：y=x2＋2x＋3顶点坐标为(-1，2)，y=x2顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到(-1，2)，因此，将y=x2向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到y=x2＋2x＋3。
（2）左右平移改变的是x的值，上下平移改变的是y的值，一般地，左加右减，上加下减。例如：y=x2＋2x＋3向右平移1个单位，得到y=(x－1)2＋2(x－1)＋3，向下平移2个单位，就得到y=(x－1)2＋2（x－1）＋3－2，整理后就得到y=x2。
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式。如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式。
三、典型例题讲解
例1、已知抛物线 ，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)作出草图；
(3)根据图象指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0；
(4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：
解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：
(1) ．
∵ ，∴抛物线开口向上．
抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
(2)抛物线 与x轴的交点是(－10，0)，(－2，0)，与y轴的交点是(0，10)，草图如图所示．
(3)当x＜－10或x＞－2时，y＞0；
当x=－10或x=－2时，y=0；
当－10＜x＜－2时，y＜0．
(4)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
反思：
画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到 ，先确定对称轴 和顶点 ，再在对称轴的两边找出关于对称轴 不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例2、抛物线y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A．a＜0，b＞0，c=0 B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c=0 D．a＜0，b＞0，c＜0
分析：
由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴交于O点，则x=0时，y=0，得c=0，故排除B，D.对称轴在y轴左侧，则 ，a、b同号f，因a＜0，故b＜0．所以选C．
答案：C
反思：
由图象确定a，b，c的符号，其中a，c的符号可直观得到．只有b的符号的确定较繁，但也有技巧，只要看对称轴的位置即可，若对称轴在y轴左侧，则a、b同号；若对称轴在y轴右侧，则a，b异号，简称“左同，右异”．
例3、(2006年，黄冈模拟)一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
分析：
此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．
由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．
∴y=(x＋1)2＋1．
答案：y=2(x＋1)2＋1， 等
反思：解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．
例4、已知二次函数的图象的顶点是（1，-8），且经过点（3，0），求这个二次函数关系式．
分析：
因为已知二次函数图象顶点及与x轴一个交点，故可用一般式，顶点式或两点式．
解法四：因为抛物线顶点为（1，－8），所以设函数关系式为y=a(x-1)2－8．
把(3，0)代入上式，得O=a(3－1)2－8．∴a=2．
∴二次函数关系式为y=2(x－1)2－8=2x2－4x－6.
解法五：∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴一个交点为（3，0），设另一交点为（x2，0），则1= .
∴x2=－1.∴设二次函数关系式为y=a(x+1)(x-3).
把（1，－8）代入上式，得－8=a·2·（-2）．∴a=2．
∴二次函数关系式为y=2(x＋1)（x－3）=2(x2－2x－3)=2x2-4x-6．
反思：
求二次函数关系式方法，应根据具体问题是灵活应用，选取最简方案．
例5、如图，已知抛物线y=x2－ax＋a＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D(0，8)，直线DC∥x轴，交抛物线于另一点C．动点P以每秒2个单位长度的速度从C出发，沿C→D运动．同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ，CB．设点P的运动时间为t秒．
(1)求a的值；
(2)当t为何值时，PQ∥y轴；
(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．
分析：
(1)将D(0，8)代入抛物线的表达式中可求出a的值；
(2)当PQ∥y轴时，DP=OQ，用t的关系式分别表示DP的长和OQ的长，即可求出t的值；
(3)应用 可求出t的值，此时实质是解含t的方程．
解：
(1)∵D(0，8)在抛物线上，
∴a＋2=8，∴a=6，
(2)当a=6时，抛物线的表达式为：y=x2－6x＋8．
当y=8时，x2－6x=0，
∴x1=0，x2=6．
即C点坐标为(6，8)．
当y=0时，x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4．
∴A(2，0)，B(4，0)．
∴CP=2t，AQ=t．
∴P(6－2t，8)，Q(2＋t，0)．
由6－2t=2＋t，解得 ．
即当 秒时，PQ∥y轴．
(3)  ．
由4t＋8=14，得 ．∴当 秒时，四边形PQBC的面积是14．
反思：
函数与几何知识相结合，一定要依据几何性质找到变量间的数量关系．同时注意平面直角坐标系中，与y轴平行的直线上的点的纵坐标相同．
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