一周强化

一、一周内容概述

1、逆命题、逆定理

（1）逆命题：将一个命题的题设和结论交换位置所得到的命题称为原命题的逆命题；

（2）逆定理：如果一个命题的逆命题是真命题，那么就称该逆命题为逆定理；

2、平行四边形、矩形、菱形、正方形

（1）判定定理：边、角、对角线；

（2）性质定理：边、角、对角线；

3、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

　　矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。矩形是有一个内角为直角的平行四边形；菱形是有一对邻边相等的平行四边形；正方形是有一个内角为直角、有一组邻边相等的平行四边形，正方形既是矩形，又是菱形。

4、等腰梯形的性质与判定

（1）性质：等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；

　　　　　 等腰梯形的两条对角线相等。

（2）判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；

　　　　　 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

5、三角形与梯形的中位线

（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；

　　　　　 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

　　　　　 梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。

6、反证法

　　（1）原理：一个命题要么为真命题，要么为假命题。即一个命题如果不为真命题，那么它一定是假命题，如果不为假命题，那么一定为真命题；如果证明它为真命题比较困难，那么可以证明它不能为假命题

　　（2）格式：假设结论的反面成立，由假设出发，通过推理得出矛盾，说明假设不成立，即原命题成立。

二、重点知识讲解

1、逆命题与逆定理

　　逆命题就是将一个命题的题设和结论交换位置所得到的命题，在写一个命题的逆命题时，首先应当弄清原命题的题设和结论，然后，交换题设和结论的位置即可。每一个命题都有逆命题，但是，并不是每一个命题的逆命题都是逆定理，只有通过证明或者举反例判断逆命题的真假之后，才能判断逆命题是否为逆定理。下面通过一道例题来加以说明。

例1、写出下列命题的逆命题，并判断它是否为逆定理。

（1）如果a=b，那么a2=b2；

（2）两直线平行，同位角相等；

（3）到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；

（4）小明是三好学生。

解析：

　　一般地，形如：“如果…，那么…。”的命题，其题设为“如果”后面的语句，结论为“那么”后面的语句。其它形式的命题，可先转换为形如：“如果…，那么…。”的命题，以确定其题设与结论。对于一个命题的逆命题，要判断它是否为定理，可采取证明和举反例两种方式来进行。如果通过证明，该命题是真命题，那么它就是逆定理；如果证明有困难，可以通过举反例的方式来证明它是假命题。自然，它就不是逆定理了。

解答：

　　（1）逆命题为：如果a2=b2，那么a=b；

　　　　 它不是逆定理。

　　　　 反例为：取a=－1,b=1,显然a2=b2，但是a≠b。

　　（2）逆命题为：两直线平行，同位角相等；

　　　　 它是逆定理。

　　　　 这是平行线的性质定理。

　　（3）逆命题为：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

　　　　 它是逆定理。

　　　　 这是线段的垂直平分线的性质定理。

　　（4）逆命题为：三好学生是小明；

　　　　 它不是逆定理。

　　　　 反例为：如果小强也是三好学生,显然三好学生不一定是小明。

2、运用相关定理进行证明与计算

　　平行四边形、矩形、菱形、正方形有着丰富的性质定理和判定定理，而且其中的某些定理互为逆定理。它们主要涉及到特殊四边形的判定和特殊四边形的性质。无论是判定还是性质，都可分为边、角、对角线三大类。在学习这部分内容时，要注意理清不同的特殊四边形的关系、判定定理和性质定理之间的区别和联系。下面以两道例题来说明相关定理的应用。

例2、如图，平行四边形ABCD中，若∠A=2∠B，求∠C。

解析：平行四边形的邻角互补，对角相等。

解答: ∵平行四边形ABCD

　　　∴∠A=∠C，∠A＋∠B=180°

　　　∵∠A=2∠B，∴∠A=120°

　　　∴∠C=120°

例3、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处。

　　 求证：。

解析：

　　要证EF=DF，只须证明△AEF≌△CDF，易知：∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，由矩形的性质可知AE=CD，易得△AEF≌△CDF。

证明：∵矩形ABCD

　　　∴AB=CD

　　　∵AE=AB

　　　∴AE=CD

　　　∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD

　　　∴△AEF≌△CDF

　　　∴EF=DF

3、等腰梯形的性质与判定定理的应用

　　等腰梯形的性质定理给出了等腰梯形的对角线和同一底边上的两个底角具有什么样的关系；等腰梯形的判定定理则给出了对角线或同一底边上的两个底角具有什么样的关系的梯形才是等腰梯形。熟练掌握这些定理有助于我们进一步认识等腰梯形。下面以一道例题说明它们的应用。

例4、求证：等腰梯形下底的中点到两腰的距离相等。（要求完成图形，写出已知。求证，并加以证明）

　　　已知：

　　　求证：

　　　证明：

解析：

　　要证明EF=EG，只需证明⊿BEF≌⊿CEG，又BE=CE，∠BFE=∠CGE，

　　故要证明⊿BEF≌⊿CEG，只需证明∠B=∠C，由等腰梯形的性质易知∠B=∠C。

解答：已知：梯形ABCD中，AB=CD，E为BC的中点，EF⊥AB，EG⊥CD，垂足分别为F、G。

　　　求证：EF=EG

　　　证明： ∵梯形ABCD中，AB=CD（已知）

　　　　　　　∴∠B=∠C（等腰梯形的性质）

　　　　　　　∵BE=CE，∠BFE=∠CGE， （已知）

　　　　　　　∴ΔBEF≌ΔCEG（AAS）

　　　　　　　∴EF=EG（全等三角形的对应边相等）

4、三角形与梯形的中位线的应用

　　在学习三角形与梯形的中位线时，应当注意：

　　（1）梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，即三角形有三条中位线，梯形只有一条中位线；

　　（2）三角形与梯形的中位线的性质定理不仅给出了位置关系，还给出了数量关系。

　　下面以一道例题加以说明三角形与梯形的中位线的应用。

例5、如图，梯形中位线的长是20cm，它被一条对角线分成的两部分的差是5cm，则这个梯形较长的底边长是（　　）

A．20cm　　　　B．25cm　　　　　C．30cm　　　　　D．35cm

解析：易知EG为ΔABD的中位线，FG为ΔBCD的中位线，

　　　故EG=AD，FG=BC，由FG－EG=5㎝知BC－AD=10㎝，

　　　又BC＋AD=2EF=40㎝，故BC=25㎝。

答案：B

3、用反证法证明相关问题

　　对于正面证明有困难的问题，我们通常采用反证法。在使用反证法证明时，应当注意假设要准确，不可重复，也不可遗漏。下面以一道例题加以说明。

例6、某班有32名同学在三月份过生日，试证明该班至少有两位同学在同一天过生日。

解析：

　　正面证明该班至少有两位同学在同一天过生日比较困难，我们可以考虑证明它的反面不成立。假设该班没有两位同学在同一天过生日。然后由假设进行推理，得出矛盾，即可证明假设不成立，即证原命题成立。

证明：

　　假设该班没有两位同学在同一天过生日，那么在三月份过生日的同学至多有31位，这与该班有32名同学在三月份过生日矛盾。故假设不成立。即该班至少有两位同学在同一天过生日。

三、难点知识突破

1、某些命题的逆命题的探寻

　　命题是表示判断的语句，必然有题设与结论，交换题设和结论，即得它的逆命题。有些命题，其题设与结论，不易确定，对此，我们可采取将它转换为“如果…那么…”的形式，以确定其题设和结论。例如：命题“两点间线段最短”，可写成：“如果一条线是连结两点得到的线段，那么这条线是连结这两点的所有线中最短的”，则其题设为：“一条线是连结两点得到的线段”，结论为：“这条线是连结这两点的所有线中最短的”。

2、判定定理的选择

　　在解决判定一个四边形为特殊四边形的问题时，我们通常有多种途径来判断。这时，根据题目条件，选择合适的判定定理和方式是必要的。往往一个合适的方法，能简洁、清晰地证明、判定。下面以一道例题加以说明。

例7、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，与AC交于点O。

　　　求证：四边形AFCE是菱形。

解析：

　　要证明四边形AFCE是菱形，我们有多种方法，可以证明它的四边相等，可以证明它是有一组邻边相等的平行四边形，可以证明它是对角线互相垂直的平行四边形，还可以证明它是对角线互相垂直平分的四边形等等。题目的已知条件中，给出了EF垂直平分AC的条件，如果能够证明AC平分EF即可证明四边形是菱形。容易证明AC平分EF。

证明：∵平行四边形ABCD

　　　∴AD∥BC

　　　∵AO=CO

　　　∴EO=FO

　　　∵AC⊥EF

　　　∴四边形AFCE是菱形

3、基本辅助线的作法

　　添加合适的辅助线，有助于证明的顺利进行。下面简要介绍几种常见的添加辅助线的方法。

　　（1）倍长中线：即将中线延长一倍。

　　　　 倍长中线AD至E，连结CE。易证AB∥CE。

　　（2）过中点作平行线；

　　　　过点D作DE∥AB交AC于E。易证DE为⊿ABC的中位线。

　　（3）作平行线分割梯形。

　　　　　　　过点B作BE∥AC交CD于E。易证四边形ACEB为平行四边形。

　　（4）将梯形补成三角形

4、反证法的假设

　　反证法的根据是非此即彼。方法是通过证明非此来达到证明即彼。要想保证证明的正确，必须弄清楚此和彼。下面将易混淆的几条罗列出来。

　　（1）至少有一个——一个都没有

　　（2）至多有一个——至少有两个

　　（3）A＞B——A≤B

　　（4）A＜B——A≥B

　　（5）a∥b——a与b相交或异面

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