（一）一元一次方程
1、等式和它的性质
等式：表示相等关系的式子，叫做等式．
等式的性质：
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式所得的结果仍是等式；
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零）所得的结果仍是等式．
2、方程
方程：含有未知数的等式叫做方程．
一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．Ax＋b=0(a≠0)是一元一次方程的标准形式．
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．一元方程的解也叫方程的根．
解方程：求方程解的过程叫做解方程．
3、解一元一次方程的一般步骤
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1．
4、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；
（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；
（3）根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；
（4）解这个方程，求出未知数的值；
（5）检验方程的解是不是符合应用题题意的解；
（6）写出答案（包括单位名称）
（二）二元一次方程组
1．二元一次方程组的有关概念
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．
二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
2．二元一次方程组的解法
代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．
加减消元法；两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．
3．二元一次方程组的应用
对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤．
(1)选定几个未知数；
(2)依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；
(3)解方程组，得到方程组的解；
(4)检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．
（三）一元二次方程
1、一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c=0(a、b、c是常数，a≠0)．
2、一元二次方程的解法
(1)直接开平方法；
(2)配方法；
(3)公式法；
(4)因式分解法．
一元二次方程的求根公式是
．
3、二次三项式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1、x2是关于x的方程ax2＋bx＋c=0的两个实数根．
4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根
当△=0时，方程有两个相等实数根
当△＜0时，方程没有实数根．
5、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则
．
6、以x1、x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1＋x2)x＋x1·x2=0．
7、使用一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式△=b2－4ac解题的前提是二次项系数a≠0．
8、若x1、x2是关于x的方程ax2＋bx＋c=0的两根，则
．反之，若
，且x1≠x2，则x1、x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根．
9、一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中必须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解(虽然是原方程的解)一定要舍去．
（四）分式方程
1、分式方程的概念
分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程．
2、解分式方程的基本思想方法
．
3、解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验．
4、列分式方程解应用题的步骤和注意事项
列分式方程解应用题的一般步骤为：
①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；
②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；
③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；
④解方程并检验；
⑤写出答案．
注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．
例1、（2004·黄冈市）关于x的一元一次方程(k2－1)xk－1＋(k－1)x－8=0的解为_________．
分析：
由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，①当k－1=1,即k=2时，原方程3x＋x－8=0，解之得x=2，②当k2－1=0且k－1≠0时，也就是当k=－1时，原方程化为－2x－8=0，解之得x=－4，所以原方程的解为x=2或x=－4．故答案为x=2或x=－4．
解答：x=2或x=－4．
点评：
运用一元一次方程的概念特征解题，可以从两个方面把握：其一是应用概念的本质属性作出正确的判断；其二是在这一概念下，据概念具备的本质特征得出相应的结论（如本例中的k－1=1和k2－1=0且k－1≠0），在解题过程中不断探索，实现解题目的．
例2、（2003·襄樊市）一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？
分析：
要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可．
解答：
生产方案设计如下：
（1）将9t鲜奶全部制成酸奶，则可获利 1200×9=10800（元）．
（2）4天内全部生产奶粉，则有5t鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为
2000×4=8000（元）．
（3）4天中，用x天生产酸奶，用4－x天生产奶粉，并保证9t鲜奶如期加工完毕．
由题意，得3x＋(4－x)×1=9．
解得x=2.5．
∴4－x=1.5（天）．
故在4天中，用2.5天生产酸奶，用1.5天生产奶粉，则利润为
2.5×3×1200＋1.5×1×2000=12000(元)．
答：按第三种方案组织生产能使工厂获利最大，最大利润是12000元．
点评：
运用数学知识解决现代经济生活中的实际问题是中考的热点考查对象之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来．对于方案三的销售金额计算时，不能按“问什么设什么”的“经验”，设销售金额为x元，则不易找到它与已知数量的联系，故列方程将很困难，这说明列方程解应用题时，恰当地设未知数很重要．
例3、（2003·广西省）已知
的解，求(m＋n)2005的值．
分析：
由方程组的解的定义可知
同时满足方程组中的两个方程，将
代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m和n的值，从而求出代数式的值．
解答：
把x=2，y=1代入方程组
由①得m=－1，由②得n=0．
所以当m=－1，n=0时，(m＋n)2005=(－1＋0)2005=－1．
点评：
如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程．
例4、(2005·龙岩市)已知关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求m的取值范围；
(2)若(x1－x2)2=8，求m的值．
分析：
(1)由题意知：△≥0，a≠0，容易求出m的取值范围．
(2)关键是如何将(x1－x2)2运用乘法公式变形成为用含x1＋x2、x1·x2的代数式来表示．即(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4x1·x2．然后运用根与系数的关系代入求解．
解答：
(1)△=(－2m)2－4(m－1)·m=4m2－4m2＋4m=4m＞0，
∴m＞0，又∵m－1≠0，∴m＞0且m≠1．
(2)由(x1－x2)2=8，得(x1＋x2)2－4x1x2=8．
令
则方程①化为：4y2－4y=8，
解得y1=2；y2=－1．
当y=2时，
当y=－1时，
．
经检验：m=2，
均为方程①的解，且满足(1)．
∴m的值为2或
．
点评：
这是一道有一定难度的综合题，着重考查学生运用一元二次方程的定义、判别式、根与系数的关系以及换元法解方程的知识，来解决有关一元二次方程根等问题．尤其应注意当二次项系数含有参数，且指定方程为一元二次方程时，二次项系数a≠0，这一隐含条件不能忽视．另外在解有关根与系数的关系问题时，应清楚它是以有实数根为前提的．
例5、(2005·上海市)解方程：
分析：
由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是——去分母法，并且在解此方程时必须验根．
解答：
去分母，得x(x－2)＋(x＋2)2=8．
x2－2x＋x2＋4x＋4=8
整理，得x2＋x－2=0．
解得x1=－2，x2=1．
经检验，x2=1为原方程的根，x1=－2是增根．
∴原方程的根是x=1．
点评：
去分母法解分式方程的具体作法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．
例6、(2004·武汉市)某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用10200元；若单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队，为什么？
分析：
解答本题的关键是先求出每个工程队单独完成此项工程用的天数和每天的费用，并弄清下列关系：①甲队6天完成的工程＋乙队6天完成的工程=1；②甲队6天的费用＋乙队6天的费用=10200元；③乙队单独完成的天数=甲队单独完成的天数＋5天；④乙队每天的工程费用=甲队每天的工程费用－300元．
解答：
设甲工程队单独完成需x天，每天需费用m元，则乙工程队单独完成需(x＋5)天，每天需费用(m－300)元．
根据题意，得
整理得x2－7x－30=0．
解得x1=10，x2=－3，经检验：x1=10，x2=－3都是原方程的解，但x2=－3不合题意．
∴x=10．
又6(m＋m－300)=10200，解得m=1000，
∴甲工程队单独完成需费用10×1000=10000(元)，
乙工程队单独完成需费用15×700=10500(元)．
答：若由一个队单独完成，从节约资金的角度考虑，应由甲工程队单独完成．
点评：
分式方程的应用．解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
