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一周强化
一、三角形
1、三角形的分类
(1)按边分
(2)按角分
2、三角形的一些重要性质
(1)边与边的关系：任意两边之和(或差)大于(或小于)第三边．
(2)角与角的关系：三角形三内角之和等于180°；一个外角大于任何一个和它不相邻的内角且等于和它不相邻的两内角之和．
3、全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
4、全等三角形的判定
(1)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“SAS”)．
(2)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“ASA”)．
(3)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简称“AAS”)．
(4)有三边对应相等的两个三角形全等(简称“SSS”)．
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)．
5、全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应角相等，对应线段(边、高、中线、角平分线)相等．
(2)全等三角形的周长相等、面积相等．
6、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等．
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(简称“等腰三角形三线合一”)
7、等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简称“三角形等角对等边”)
8、等边三角形的性质
等边三角形的三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°．
9、等边三角形的判定
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
10、直角三角形的性质
(1)直角三角形的两锐角互余．
(2)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
(3)直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半．
(4)直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
11、直角三角形的判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．
(2)有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形．
(3)若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角．
二、角的平分线、线段的垂直平分线
1、角平分线的性质定理及逆定理
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
逆定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2、线段的垂直平分线的性质定理、逆定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等.
逆定理：和这条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
三、多边形与平行四边形
1、多边形的定义：在平面内，由n(n≥3)条线段首尾顺次连接所构成的图形叫做n边形.
2、n边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）·180°.
3、n边形的外角和定理：任意一个n边形的外角和都等于360°.
4、平行四边形的定义、判定和性质
名称 |
判定 |
性质 |
平行四边形
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1、两组对边分别平行的四边形（定义） |
1、两组对边平行且相等 |
2、两组对边分别相等的四边形 |
2、两组对角相等 |
3、两条对角线互相平分的四边形 |
3、两条对角线互相平分 |
4、两组对角相等的四边形 |
4、S=ab（a、b分别表示底和这一底上的高） |
5、一组对边平行且相等的四边形 |
5、是中心对称图形（对称中心为对角线交点） |
四、特殊平行四边形
矩形、菱形、正方形的定义、判定及性质
名称 |
判定 |
性质 |
矩形
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1、有一个角是直角的平行四边形（定义）
2、有三个角是直角的四边形
3、对角线相等的平行四边形
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除具有平行四边形的性质外，还具有
1、四个角都是直角
2、对角线相等
3、S=ab（a、b表示长和宽）
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
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菱形
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1、有一组邻边相等的平行四边形（定义）
2、四条边都相等的四边形
3、对角线互相垂直的平行四边形
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除具有平行四边形的性质外，还有
1、四条边都相等
2、对角线垂直，每一条对角线平分一组对角
3、 （l1，l2表示两对角线长）
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形
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正
方
形 |
1、有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形（定义）
2、一组邻边相等的矩形
3、一个角是直角的菱形
4、对角线相等且垂直的平行四边形
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除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还具有
1、对角线与边夹角为45°
2、S=a2（a表示边长）
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五、梯形
1、梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，判定与性质，见下表：
名称 |
判定 |
性质 |
一般梯形 |
一组对边平行另一组对边不平行的四边形（定义） |
1、一组对边平行，另一组对边不平行.
2、 （a,b,h分别表示上底，下底和高）.或S=l·h（l表示中位线） |
等腰梯形 |
1、两腰相等的梯形（定义）
2、同一底上的两个角相等的梯形
3、两条对角线相等的梯形
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除具有一般梯形的性质外，还有
1、两腰相等，同一底上的两个角相等
2、对角互补，对角线相等
3、是轴对轴图形
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直角梯形 |
有一个角是直角的梯形（定义） |
除一般梯形的性质外，还有：一底角是直角 |
2、三角形、梯形的中位线定理：三角形（或梯形）的中位线平行于底边（或两底），并且等于底边（或两底和）的一半.
3、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
4、平行四边形、菱形、矩形、等腰梯形、直解梯形都是特殊四边形，它们之间的包含关系如图.
六、轴对称、中心对称与图形的折叠问题
1、轴对称和轴对称图形
定义：如果沿着一条直线对折，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做以这条直线为对称轴的对称图形；如果沿着一条直线对折，一个图形在这条直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
性质：（1）关于轴对称的两个图形是全等形；
（2）对称轴垂直平分对称点的连线；
（3）两个图形关于某直线对称，它们的对应线段或其延长线的交点在对称轴上。
（4）两个图形的对称点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
2、中心对称和中心对称图形
定义：如果绕着一个定点旋转180°后，两个图形中的每一个能够和另一个的原来的位置互相重合，那么这两个图形叫做关于这个定点成中心对称；如果绕着一定点旋转180°后，一个图形的一部分能够和另一部分的原来位置互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，这个性质的逆命题也成立.
七、典型例题解析
例1、已知，如图中甲图，BD、CE分别是△ABC的外角的平分线，过点A 作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证 （1）若图甲BD，CE分别是△ABC的内角平分线（如图乙）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图丙），则在图乙、图丙两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
[解析]
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．
[解析]
例3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=6cm．P、Q分别是BC、AC上的一个动点，P点自B点出发，沿B→C方向向C点运动，速度是1cm/s，Q点从C点出发，沿C→A方向向A点运动，速度是2cm/s，若P、Q两点同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)．
(1)当t为何值时，△PCQ是等腰三角形？并求PQ的长；
(2)试以含t的代数式表示△PCQ的面积，并写出t的取值范围．
[解析]
例4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE.
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能为正方形吗？为什么？
[解析]
例5、如图，有一张矩形纸片ABCD，E，F分别是BC，AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x.
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C.
①当x﹕b为何值时，直线E′E经过原矩形的一个顶点？
②直线E′E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？
[解析]
例6、在梯形ABCD中，AD//BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，
试证：2MN=BC－AD.
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