一周强化

一、成比例线段

1、比例线段的有关概念

　　前项、后项两条线段的比a︰b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.

比例线段：四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段，简称比例线段.

　　外项、内项，第四比例项：如果a﹕b=c﹕d，那么a，d叫做比例外项；b，c叫做比例内项，d叫做a,b,c的第四比例项.

　　比例中项：如果a﹕b=b﹕c，那么b叫做a,c的比例中项.

2、比例的性质

　　比例的基本性质：如果a﹕b=c﹕d，那么有ad=bc，其逆命题也成立.

　　由比例基本性质，可知，如果a﹕b=b﹕c，那么b2=ac，其逆命题成立.

　　合比性质：如果，那么.

　　等比性质：如果（其中b＋d＋…＋n≠0），那么

3、黄金分割：把线段AB分成两条AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，那么叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.

4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两直线，所得的对应线段成比例.

　　推论1：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

　　推论1的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得到的对应线段成比例，那么这条直线平行三角形的第三边.

　　推论2：平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三边对应成比例.

二、相似三角形

1、相似三角形的定义

　　如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这样的两个三角形相似。

　　对应边的比叫相似比．

2、三角形相似的判定

　　（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；

　　（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；

　　（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

　　（4）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

　　（5）判断直角三角形相似的方法。

　　①以上各种识别方法均适用；

　　②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；

　　③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

3、相似三角形的性质

　　（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.

　　（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

　　（3）相似三角形周长的比等于相似比.

　　（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

二、重、难点解析

例1、已知a、b、c为非零整数，，则k=________.

精析：

　　本题所考知识点是等比性质的运用.从已知条件来看，它符合等比性质.若用等比性质，则各后项之和为a＋b＋c，虽然a、b、c为不为0的实数，但a＋b＋c有可能为0.因而应注意等比性质是在各后项之和不为0的条件下应用.所以解答本题应分a＋b＋c=0和a＋b＋c≠0两种情况进行分类讨论.

　　①当a＋b＋c=0时，则a=－(b＋c)，

　　[或b=－(a＋c)，或c=－(a＋b)]，这时；

　　②当a＋b＋c≠0时，由等比性质得综上所述k=－1或2.

答案：－1或2.

评注：通过本题的解答，在应用等比性质定理时要注意隐含条件，即各后项之和不为0.

例2、如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG//AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：BE2=BF·EG.

分析：

　　要证BE2=BF·EG，结合EF、EG的位置，可连结EC，不难得出EC=BE，

　　最后转化为证明EC2=EF·EG.

证明：连结EC，

　　　∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB且AD垂直平分BC，

　　　∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB.

　　　∴∠ABF=∠FCE.

　　　∵CG//AB，∴∠ABF=∠G，∴∠G=∠FCE.

　　　又∠FEC=∠CEG，∴△FEC∽△CEG，

　　　∴，

　　　∴EC2=EF·EG，∴BE2=BF·EG.

例3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°，

（1）求证：BD·BC=BG·BE；

（2）求证：AG⊥BE；

（3）若E为AC的中点，求EF﹕FD的值.

精析：

　　这是一道综合考查相似三角形有关性质和判定的综合题.对于（1）我们可以将等积式化为比例式，然后用“三点定形法”找三角形，即四条线段分别在△GBD和△CBE中，再证明这两个三角形相似.

　　∵∠BGD=∠FGE=45°=∠C，∠GBD=∠CBE，故问题得证.

　　对于（2），要证AG⊥BE，即证∠BGA=90°，直接证非常困难，注意到∠BAE=90°，

　　如果能证∠BGA=∠BAE问题就解决了，故可证△ABG∽△EBA.

　　因为∠ABG=∠EBA，只须证，而Rt△ABC,AB=AC,D为BC的中点，

　 　∴AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，由（1）可知BD·BC=BG·BE，

　　∴AB2=BG·BE，故问题获解.

　　对于（3）是求两条线段的比，可仿（1）可证得△FGE∽△FCD，

　　∴因为AB⊥AC，AG⊥BE，

　　∴△AGE∽△BGA∽△BAE，

　　∵AB=AC，E为AC的中点，所以

　　从而可推得，

　　即EF﹕FD=1﹕

答案：

　　（1）证明：∵∠BGD=∠FGE=45°=∠C，∠GBD=∠CBE，

　　　　∴△GBD∽△CBE，∴，即BD·BC=BG·BE．

　　（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC,D为BC的中点，

　　　　 ∴AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，

　　　　 由（1）知BD·BC=BG·BE．∴AB2=BG·BE，即．

　　　　　∵∠ABG=∠EBA，△ABG∽△EBA.∴∠BGA=∠BAE，∴AG⊥BE．

　　　（3）EF﹕FD=1﹕

例4、如图，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；

（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

精析：

　　这是一道综合性创新性命题，旨在全面考查学生分析问题和解决问题的能力.

解答：

　　（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6－t.

　　　　 当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6－t=2t，解得t=2（秒）.

　　（2）要求四边形QAPC的面积，可分解为求△QAC和△APC的面积的和，所以在△QAC中，

在△APC中，

∴SQAPC=S△QAC＋S△APC=（36－6t）＋6t=36(厘米)2

由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变.

　　（3）根据边与角的对应关系，要注意分两种情况进行分类讨论：在矩形ABCD中，

①当时，△QAP∽△ABC，则，解得t=（秒）.

∴当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC.

②当时，△PAQ∽△ABC，则，解得t=3（秒）.

故当t=3秒时，△PAQ∽△ABC.

例5、一天的某个时刻，测得1m的竹竿AB（垂直于地在）的影子长AC=0.9m,立即测树高时发现树影的一部分在地面长2.7m，而树影的另一部分留在附近的墙上高1.2m，如图，你能算出树高吗？

精析：上述问题可以抽象为如图所示的几何图形，

其中DE为树的位置，FG为落在墙的影子，EG为落在地上的影子，

则EG=2.7m,FG=1.2m.

过G作GM//DF交DE于M，则，EM=3（m）.

又四边形DMGF为平行四边形，∴MD=FG=1.2m, ∴DE=4.2m.

答案：树高4.2m．

例6、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.

　　（1）求证：△ABP∽△PCE；

　　（2）求等腰梯形的腰AB的长；

　　（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE﹕EC=5﹕3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由.

解析：

　　（1）证明：∵∠APE=∠B=60°，∴∠APB＋∠EPC=120°

　　　　 又∵∠BAP＋∠APB=180°－∠B=120°，∴∠BAP=∠EPC.

　　　　 又∵在等腰梯形中，∠B=∠C，∴△ABP∽△PCE.

　　（2）过A作AF⊥BP，∵BC=7cm，AD=3cm，∴.

　　　　 在Rt△ABF中，BF=2cm，∠B=60°，∴AB=4cm.

　　（3）存在这样的点P，理由如下，由DE﹕EC=5﹕3，

　　　　 DE＋EC=DC=4，得，

　　　　 设BP=x，则PC=7－x，由△ABP∽△PCE，

　 　　　可得：，即，

　　　　 ∴x1=1，x2=6，经检验，都符合题意，

　　　　 ∴BP=1cm或6cm.

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