一周强化

一、知识讲解

1、圆的定义

圆是到定点的距离等于定长的点的集合．

定点是圆心，定长是半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

2、点和圆的位置关系

若平面内的点到圆心的距离为d，圆的半径为R，则

d=R点在圆上；

d>R点在圆外；

d<R点在圆内．

3、过三点的圆

　　不在同一直线上的三个点确定一个圆．

　　经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，这个三角形是这个圆的内接三角形，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边中垂线的交点．

4、圆的基本性质

　　(1)圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，总能与自身重合．

　　(2)垂径定理及推论：

　　定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

　　推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

④圆的两条平行弦所夹的弧相等．

　　(3)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：

　　在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

　　(4)圆周角定理及推论：

　　定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

　　推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

　　②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

　　③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

　　(5)圆内接四边形性质：

　　圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．

5、直线和圆的位置关系

　　(1)定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆相离；直线和圆只有一个公共点，直线和圆相切；直线和圆有两个公共点，直线和圆相交．

　　(2)等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则

　　①直线和圆相离d>r；

　　②直线和圆相切d=r；

　　③直线和圆相交d<r．

6、圆的切线

　　(1)切线的判定方法：

　　①用定义判断；②用等价条件判断；

　　③用定理判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

　　(2)切线的性质：

　　定理：圆的切线垂直于过切点的半径；

　　推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

　　②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

　　(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

7、与圆有关的比例线段

定理	图形	结论
相交弦定理		PA·PB=PC·PD
相交弦定理的推论		PA·PB=PC2
切割线定理		PA·PB=PC2
切割线定理的推论		PA·PB=PC·PD

8、两圆的位置关系

　　（1）设R、r(R>r)为两圆的半径，d为圆心距，则两圆相等d>R＋r；

两圆外切d=R＋r；

两圆相交R－r<d<R＋r；

两圆内切d=R－r；

两圆内含d<R－r，其中两圆同心d=0.

　　（2）性质

　　相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两外公切线所夹的角.相切的两圆的连心线必过切点.

　　（3）公切线

　　两圆的两条外公切线长相等；两条内公切线的长也相等.

　　（4）公切线的条数与两圆的位置关系

两圆相离4条公切线；

两圆外切3条公切线；

两圆相交2条公切线；

两圆内含0条公切线.

　　（5）常见的辅助线

　　①连线心；②公共弦；③内、外公切线

9、圆的有关计算

(1)基本公式

①圆周长：C=2πr；

②弧长：

③圆面积：S=πr2；

④扇形面积：

⑤圆锥的侧面积和全面积

　　圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆周长C，半径等于圆锥的母线l，若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为，则；

而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和，即

(2)常见组合图形的周长、面积的几种常用方法

　　①公式法；②割补法；③拼凑法；④等积变形法；⑤构造方程法.

(3)研究圆锥时，常将空间图形转化为平面图形来研究.圆锥可以看作是由一个直角三角形围绕一条直角边旋转而成的．

二、重难点知识讲解

例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径的圆交AB于P，则AP=________．

分析：

　　解决与弦有关的问题，常常过圆心向弦作垂线，借助垂径定理加以解决．

解答：

过C作CM⊥PB于M，即MP=MB，设为x，

Rt△ABC中，有，

△BCM∽△BAC，得BC2=MB·AB，

∴12=x·，∴x=,

故AP=AB－2x=．

例2、已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交⊙O于E，AD⊥BC于D，OA为⊙O的半径．

求证：（1）∠OAE=∠DAE；

（2）若AB=12，AC=8，AD=6，求AO的长．

分析：利用“垂径定理”及圆周角的概念和三角形相似等知识求解．

解答：（1）如图，作直径AF，连BF，则∠ABF=∠90°．

 

又AD⊥BC于D，

∴∠ADC=90°=∠ABF．

又∠F=∠C，

∴△ABF∽△ADC，

∴∠BAF=∠CAD．

又∠BAE=∠CAE，

∴∠OAE=∠DAE．

（2）由（1）知△ABF∽△ADC，可得

例3、（1）如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，AB=11cm，BC=13cm，CA=14cm，求AD、BE、CF的长．

　　（2）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求△ABC内切圆的半径．

分析：

　　（1）由切线长定理得AD=AF，BD=BE，CE=CF，故可设AD=AF=x,BD=BE=y,CE=CF=z,根据边长可以列出关于x、y、z的方程组，从而求出AD、BE、CF的长；

　　（2）可以利用面积法求解．

解答：

　　（1）∵AB、BC、CA与⊙O相切，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．

设AD=x,BD=y,CE=z，则

即AD、BE、CF的长分别为6cm、5cm和8cm．

（2）设△ABC的内切圆⊙I与△ABC的三边分别切于点D、E、F，联结CI、BI、AI、ID、IE、IF，则ID⊥AC，IE⊥AB，IF⊥BC且ID=IE=IF=r(r为内切圆半径)，

则S△ABC=S△AIB＋S△BIC＋S△CIA．

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，

∴×3×4=×5r＋×4r＋×3r，

∴r=1．

点评：

　　1、用（1）的方法可以求出当AB=c，BC=a，AC=b时，AD、BE与CF的长，即AD=(b＋c－a),BE=(a＋c－b)，CF=(a＋b－c)．利用此结论，在第（2）题中，由于CDIF为正方形，∴r=cd=(3＋4－5)=1，可以很快求出内切圆半径．

　　2、在求三角形内切圆半径时，面积法通常是比较有效的方法．

例4、（1）两圆的半径分别为R=5，r=3，圆心距d=6，则这两圆的位置关系是（　）

A．外离　　　　　　　　　　B．外切

C．相交　　　　　　　　　　D．内含

(2)已知关于x的一元二次方程x2－2(R＋r)x＋d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1，⊙O2的半径，d为两圆的圆心距，则⊙O1G与⊙O2的位置关系是（　）

A．外离　　　　　　　　　　B．相交

C．外切　　　　　　　　　　D．内切

分析：

　　(1)直接根据两圆位置关系的数量特征进行判断；(2)先由判别式△<0，得出R、r与d的关系，再根据数量特征进行判断．

解答：

　　(1)∵R＋r=5＋3=8，

R—r=5—3=2，圆心距d=6，

∴R－r<d<R＋r，

∴两圆相交，因此选C．

(2)由题意知，△=4(R＋r)2一4d2<0，

∴(R＋r)2一d2<0，即(R＋r＋d)(R＋r—d)<0．

∵R＋r＋d>0,∴R＋r—d<0，

∴R＋r<d．

因此两圆外离，故选A．

点评：判断两圆的位置关系，一般是从两圆位置关系的数量特征去判断．

例5、如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD分别与⊙O1、⊙O2交于C、D，经过点B的直线EF分别与⊙O1、⊙O2交于E、F，且EF//O1O2，下列结论：①CE//DF；②∠D=∠F；③EF=2O1O2，必定成立的有（　）

　A．0个　　　　B．1个　　　　　C．2个　　　　　　D．3个

分析：

　　两圆相交根据连心线垂直平分公共弦，再由EF//O1O2，得出AB⊥EF，进而由圆内接四边形的性质找出角的关系．由AB⊥EF，得到AE、AF分别为⊙O1、⊙O2的直径，再由三角形中位线的性质求解．

解答：

　　联结AB、AE、AF．

　　则有O1O2⊥AB，又O1O2//EF，

　　∴AB⊥EF，∴∠C=90°，∠D=90°，

　　∠C＋∠D=180°，∴CE//DF．

　　由AB⊥EF，知AE、AF分别为⊙O1、⊙O2的直径，

　　∴O1O2EF，即EF=2O1O2．

　　若要∠D=∠F，则要∠F=90°，即AB⊥CD，而CD是过A点的一条直线，不一定平行O1O2，故∠D=∠F不一定成立．因此选C．

点评：

　　此例综合考查了相交两圆的一切性质．涉及到圆内接四边形的性质，圆周角是直角所对的弦是直径，三角形中位线的性质，两圆相交，联结公共弦是常见的辅助线．

例6、(1)如图所示，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是______．

　　(2)如图所示，四边形ABCD为正方形，曲线DEFGHIJ…叫做“正方形ABCD的渐开线”，其中…的圆心依次按A、B、C、D循环，当渐开线延伸开时，形成了扇形S1、S2、S3、S4和一系列的扇环S5、S6、…．当AB=1时，它们的面积…，那么扇环的面积S8=________．

分析：

　　(1)先由四边形的内角和定理，可知∠A＋∠B＋∠C＋∠D=360°，从而得四个扇形的圆心角之和为：360°×4－360°=1080°，再由扇形的弧长公式得

　　(2)先由图形可知，每个扇形的圆心角都是90°，第n个扇形的半径为n，其次从第5个扇形开始出现扇环，…，可知第n个扇环的面积是第n个扇形面积与第(n－4)个扇形面积之差，所以，易求得S8．

解答：(1)6π　　(2)12π

点评：掌握圆周长、弧长、圆面积、扇形面积等计算公式是解决这类问题的关键．

例7、如图所示，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACB=90°，
∠CAB=30°，BC=1m．工人师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面(直线l)上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1的位置(BCl在l上)，最后沿射线BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度(此时A2C2恰好靠在墙边)．

　　(1)请直接写出AB、AC的长；

　　(2)画出在搬动此物体的整个过程中A点所经过的路径，并求出该路径的长度．(精确到0.1 m)

分析：

　　这是圆中典型几何计算与运动型问题，旨在考查学生分析图形的能力和计算能力，A点所经过的路径是：先以B点为圆心，AB长为半径，∠ABA1为圆心角的弧，再右平移C1C2（即AC）长度．

解答：

　　(1)AB=2 m，AC=m

　　(2)画出A点经过的路径(如图)：

　　∵∠ABA1=180°－60°=120°，A1A2=AC=m．

　　∴A点所经过的路径长=．

点评：

　　对于运动型路径计算问题，要认真分析图形，掌握其运动过程中的规律，不同的运动阶段，其运动规律不同，计算方法也就不同．

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