一、一周知识概述

1．会用(SSS)、(SAS)，(ASA)，(AAS)识别三角形全等．

2．会用(HL)说明两个直角三角形全等．

3．运用所学的识别方法灵活识别三角形全等，会解决线段或角相等的问题．

4．通过全等三角形识别方法的探求，体验发现数学结论的乐趣．

二、重点知识讲解

三角形相似的特殊情形是全等．

三角形全等的常用识别方法有：

方法1．SSS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)．

　　三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，三条边就分别对应相等，这两个三角形不但形状相同，而且大小都一样，即为全等三角形．与相似三角形的识别法相类比可得到(SSS)全等识别法

方法2．SAS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SAS)．

(SAS)全等识别法与相似三角形的识别法同样是相类似的．

　　一个角对应相等，而夹这个角的两边分别对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，夹这个角的两边对应相等，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形．

方法3．ASA　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ASA)．

通过实践可以总结出一个规律，即角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

方法4．方法3的推论AAS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，(可以简记成“角角边”或“AAS”)．

注意：如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等，这时应该有两种不同的情况：一种情况是两个角及两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边，如图所示．

方法5．HL　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．可以简写成“斜边、直角边”或“HL”．

三、难点知识剖析

1、有两边及一角相等的两个三角形不一定相等，有两角及一边相等的两个三角形不一定全等.

　　例如：　　

　　（1）、如图D为△ABC的边AC上一点，BD=BC.在△ABD和△ABC中，AB=AB，BD=BC，∠BAD=∠BAC，但△ABC和△ABD并不全等.

　　（2）、如图BD为Rt△ABC的斜边AC上的高，易证∠DBC=∠A，在△ABC和△DBC中，∠A=∠DBC，∠ACB=∠DCB，BC=BC.但△ABC和△DBC并不全等.

2、几种特殊图形的辅助线的作法

（1）、倍长中线：

常用于图中有中线且结论不易直接证得的题目.

　　例1、已知如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC>2AD.

解析：AB、AC、AD不在同一个三角形中，如果能将AD倍长，就可在同一个三角形找出AB、AC、AD或与之相等的线段.

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE.

　　　　　∵AD为△ABC的中线，

　　　　　∴BD=CD。

　　　　　在△ADC和△EDB中，

　　　　　∴△ADC≌△EDB（SAS）。

　　　　　∴AC=BE。

　　　　　在△ABE中，AB＋BE>AE，

　　　　　∴AB＋AC>2AD。

（2）、翻折法：

　　　常用于图中有角平分线且结论不易直接证得的题目.

例2、已知如图，△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的角平分线，求证：AB－AC>BD－CD.

解析：将△ADC沿角平分线AD翻折，易知，C点落在AB上，不妨设为点E.

　　　　　且AE=AC，DE=DC.

　　　　　结合△BED三边的关系，可证得AB－AC>BD－CD.

证明：在AB上取点E，使AE=AC，连接D、E。

　　　　　∵AD是△ABC的角平分线，

　　　　　∴∠EAD=∠CAD，

　　　　　在△EAD和△CAD中，

　　　　　∴△EAD≌△CAD（SAS）．

　　　　　∴ED=CD．

　　　　　在△BDE中，BD－ED<BE=AB－AE，

　　　　　即：AB－AC>BD－CD．

四、典型例题讲解

例1、∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需要添加一个条件（只需添加一个条件）___________。

[解析]

例2、如图，已知∠ACE=90°，AC=EC，B为AE上一点，ED⊥CB于点D，AF⊥CB交CB的延长线于点F.求证：DF=DE－AF.

[解析]

例3、已知如下图，为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE。

（1）求证：

（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形，且？证明你的结论。

[解析]

例4、如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，试说明AD＝A′D′．

[解析]

例5. 已知矩形ABCD中，AD>AB，O为对角线的交点，过O作一直线交BC、AD于M、N．

（1）求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积；

（2）当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后，能使C点恰好与A点重合？（只写出满足的条件，不要求证明）

（3）在（2）中条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的，求BM︰MC的值

[解析]

例6.已知如图，AB＝AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE＝CF，EF交BC于点D。

求证：DE＝DF

[解析]

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