一周强化

一、一周知识概述

1．在几何里把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称基本作图。

无刻度的直尺的基本作用：

（1）过两个已知点作一直线；

（2）把一条已知线段任意延长.

圆规的基本作用：

（1）以已知点为圆心，已知的长为半径作一个圆；

（2）在一条已知直线上，截取一条线段等于一条已知的线段；

2、五种基本作图

（1）作一条线段等于已知线段

（2）作一个角等于已知角

（3）平分已知角

（4）经过一点作已知直线的垂线

（5）作线段的垂直平分线

基本作图应用：

等分线段或角

已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形；

已知两角及其夹边作三角形；

已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知底边上的高及腰作等腰三角形；

已知一锐角和斜边作直角三角形。

3、常用的作图语言

（1）过×点、×点作直线××；或作直线××；或作射线××。

（2）连结两点××；或连结××。

（3）在××上截取××=××。

（4）以×点为圆心，以××长为半径作圆（或作弧）。

（5）以×点为圆心，以××长为半径作弧交××于×点。

（6）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径画弧，两弧交于点×、×。

（7）延长××到点×，使××=××。

（8）延长××交××于点×。

4、尺规作图中注意问题

　　（1）五种最基本、最常用的尺规作图、必须熟练掌握、灵活运用，它是解决较复杂的几何作图的基础。

　　（2）较复杂的几何作图都是由基本作图组成的。由此，在几何作图时，先应画草图分析，将较复杂的尺规作图分解为若干基本作图，并探求作图的途径、方法和步骤（通常首先寻找奠基三角形）。

　　（3）尺规作图必须有依据，尽管有的作图题不要求证明，但为什么作出的图形符合要求，这其中的道理必须明白。

　　（4）学过基本作图以后，遇有属于基本作图题，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述即可。

二、典型例题分析

例1、已知三边，用直尺和圆规作三角形

　　　已知：线段a,b,c

     　　 求作：ΔABC，使BC=a, AC=b, AB=c

图（1）

分析：这是基本作图：作一条线段等于已知线段的应用

       作法：（1）作线段BC=a

             （2）以B为圆心，c为半径作弧

             （3）以C作圆心，b为半径作弧与前弧交于A

             （4）连结AB，AC

　                ΔABC为所求作的三角形，如图（2）.

图（2）

点评：

　　（1）在文字问题中，要求写出已知、求作、作法。在已知中要根据问题把已给条件具体化，如图（1）中具体给出三条线段的长，且给出的具体条件要满足能完成所作的图形的条件，如本题中，要使最长线段a<b+c，

　  （2）在求作中要写明作什么图形，满足什么样的要求。

    （3）在作法中要使用规范语句，按照作图的顺序逐一写明了。

    （4）最后要指出结论。

例2、如图所示，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，并且使P点到∠AOB的两边距离相等。

分析：

　　要使PC=PD，则P点在线段AB的垂直平分线上，要使P点到∠AOB的两边的距离相等，则点P在∠AOB的平分线上，为此，要作线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们的交点P即为所求。

作法：（1）作线段DC的垂直平分线EF；

　　　（2）作∠AOB的平分线OG，OG交EF于点P。

　　　　　 点P即为所求。

误点剖析：

　　误解：作∠AOB的平分线OG，且找到CD的中点E，在OG上找一点P，使它到E距离最近，则点P即为所求。所找P点虽能满足到角的两边距离相等的要求，但不一定使得PC=PD，因为所找P点不一定在CD的垂直平分线上。

 例3、已知：三角形两边及第三边上的中线，求作三角形。

　　　 已知：线段a, b, m,求作ΔABC，使AB=a, AC=b, BC边上的中线等于m。

分析：

　　由于所给线段的位置不易确定，所以直接作出有困难，可以采取倍长中线（中线加倍）的方式，把已知线段集中到一个三角形中。

作法：1、作线段AB=a.

　2、分别以A、B为圆心，2m, b为半径作圆交于E，连结AE、BE。

　3、取AE中点D，连结BD并延长至C，使DC=BD。

　4、连结AC，∴ΔABC即所求。

例4．如图所示，A、B、C三点表示三个工厂，要造一个供水站，使它到这三个供水站的距离相等，求作供水站的位置P。

分析：

　　可分成二步来解决，第一步是解决到A、B两点等距离的点，这要用到“基本作图”中作一条线段的中垂线；第二步是解决到B、C（或A、C）两点等距离的点，这就需要作BC（或AC）的中垂线，两条中垂线的交点即为所求的P点。

　　作法：（1）作AB的垂直平分线L1；

　　　　　（2）作AC的垂直平分线L2；

　　　　　（3）L1、L2相交于P点，则P点的所求（如图）

点评：

　　错误作法：连结AB、BC、AC，分别作∠BAC及∠ABC的平分线AE、BF、AF、BF相交于P，则P点即为所求。

错误原因：

　　是混淆了角平分和线段垂直平分线的性质，一个角的角平分线是到角的两边等距离的点的集合，而线段的垂直平分线是到线段两端等距离的点的集合。

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