主讲：高级教师　余国琴

一周强化

一、知识概述

1、形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．二次函数是解决实际问题的一种重要数学模型．

2、二次函数y=ax2的图象和性质

　　（1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，它的顶点坐标是(0，0)，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线．

　　①当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a>0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而减小；当x>0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0；

　　②当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点．也就是说，当a<0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x<0时，函数y随x的增大而增大；当x>0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0；

　　③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大．

　　（2）二次函数y=ax2的表达式的确定

　　因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值．

3、二次函数y=ax2＋c的图象与性质

　　(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．

　　(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．

　　当a>0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．

　　当a<0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．

　　(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．

　　抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c>0时，向上平行移动，当c<0时，向下平行移动．

4、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质

　　①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．

　　②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．

　　③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．

5、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质：

　　一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：

　　①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；

　　②对称轴是平行于y轴的直线x=h；

　　③顶点坐标是(h，k)．

　　二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．

6、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质

　　二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．

　　二次函数y=ax2＋bx＋c总可通过配方得

　　

　　即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．

　　当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．

　　当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，同时由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到．

　　抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．

7、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法

①列表：根据对称性选取适当的x的值，得到相应的y值；

②描点：在直角坐标系中描出表中数对表示的点；

③连线：用光滑曲线将所描的点连接起来．

8、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系

a、b、c的代数式	作用	字母的符号	图象的特征
a	1．决定抛物线的开口方向； 2．决定增减性	a＞0	开口向上
		a＜0	开口向下
c	决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)	c＞0	交点在x轴上方
		c=0	抛物线过原点
		c＜0	交点在x轴下方
	决定对称轴的位置，对称轴是	ab＞0	对称轴在y轴左侧
		ab＜0	对称轴在y轴右侧

二、重难点知识讲解

1、二次函数的三种形式：

（1）一般式：y=ax2＋bx＋c　(a、b、c是常数，a≠0)；

（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k　（h，k）为函数图象的顶点；

（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)　(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.

2、待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

　　一般地，在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x，y的值)可设解析式为y=ax2＋bx＋c，然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设解析式为y=a(x－h)2＋k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴，则可设解析式为y=a(x－x1)(x－x2)来求解.

3、图象的变换

　　特殊的二次函数y＝ax2的图象的性质，对学好一般的二次函数的图象和性质有着重要的意义．因为一般的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，可通过将函数y＝ax2的图象右、左、上、下平移而得到．函数y＝ax2的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线．当h>0时（或h<0时），把y＝ax2的图象向右（或向左）平移|h|个单位，而得到y＝a（x－h）2的图象．当k>0时（或k<0时），再把y＝a（x－h）2的图象向上（或向下）平移|k|个单位，得到y＝a（x－h）2＋k的图象．由上述平移y＝a（x－h）2＋k图象的规律，可归纳为下面的口诀：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移．”

4、二次函数y=ax2＋bx＋c和一元二次方程ax2＋bx＋c=0的关系

　　一元二次方程ax2＋bx＋c=0就是二次函数y=ax2＋bx＋c在函数y的值为0时自变量x的取值情况.

　　二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点，当二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.

　　当抛物线与x轴有两个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，此时，b2－4ac＞0；当抛物线与x轴有一个交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，此时b2－4ac=0；当抛物线与x轴没有交点时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0没有实数根，此时，b2－4ac＜0．反之也成立．即b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b2－4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个相同的实数根，抛物线与x轴有唯一交点；当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0无实数根，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴无交点．

　　由于二次方程ax2＋bx＋c=0是二次函数y=ax2＋bx＋c当y=0时的特殊情形，所以二次方程与二次函数有着必然联系．借此还可以研究二次不等式．

三、典型例题讲解

例1、已知抛物线，求：

(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；

(2)作出草图；

(3)根据图象指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0；

(4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？

分析：

　　解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．

解：

　　(1)．∵，∴抛物线开口向上．

　　抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．

　　(2)抛物线与x轴的交点是(－10，0)，(－2，0)，与y轴的交点是(0，10)，列表、描点、连线（略），草图如图所示．

　　(3)当x＜－10或x＞－2时，y＞0；

　　当x=－10或x=－2时，y=0；

　　当－10＜x＜－2时，y＜0．

　　(4)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．

反思：

　　画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．

例2、一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．

分析：

　　此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．

　　由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．

　　∴y=(x＋1)2＋1．

答案：y=2(x＋1)2＋1，等

反思：解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．

例3、 已知一次函数y=ax＋c和二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图象是（　）.

分析：

　　一次函数y=ax＋c，当a>0时，图象过一、三象限;当a<0时，图象过二、四象限;c>0时，直线交y轴于正半轴;当c<0时，直线交y轴于负半轴;对于二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)来讲:

　　

解：

　　可用排除法，设当a>0时，二次函数y=ax2＋bx＋c的开口向上，而一次函数y=ax＋c应过一、三象限，故排除C；当a<0时，用同样方法可排除A；c决定直线与y轴交点，也在抛物线中决定抛物线与y轴交点，本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点，故排除B.

答案：D.

例4、求满足下列条件的二次函数的解析式

(1)图象经过A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6);

(2)图象经过A(－1，0)、B(3，0)，函数有最小值-8;

(3)图象顶点坐标是(－1，9)，与x轴两交点间的距离是6.

分析：

　　此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解.

　　(1)解：设解析式为y=ax2＋bx＋c，把A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6)各点代入上式得

　　解得

　　∴解析式为y=x2＋2.

　　(2)解法1:由A(－1，0)、B(3，0)得抛物线对称轴为x=1，所以顶点为(1，-8).

　　设解析式为y=a(x－h)2＋k，即y=a(x－1)2－8.

　　把x=－1，y=0代入上式得0=a(－2)2－8，∴a=2.

　　即解析式为y=2(x－1)2－8，即y=2x2－4x－6.

　　解法2:设解析式为y=a(x＋1)(x－3)，确定顶点为(1，－8)同上，

　　把x=1，y=-8代入上式得－8=a(1＋1)(1－3).解得a=2，

　　∴解析式为y=2x2－4x－6.

　　解法3:∵图象过A(－1，0)，B(3，0)两点，可设解析式为：

　　y=a(x＋1)(x－3)=ax2－2ax－3a.

　　∵函数有最小值－8.

　　∴=－8.

　　又∵a≠0，∴a=2.

　　∴解析式为y=2(x＋1)(x－3)=2x2－4x－6.

　　(3)解:由顶点坐标(－1，9)可知抛物线对称轴方程是x=－1，

　　又∵图象与x轴两交点的距离为6，即AB=6.

　　由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(－4，0)，B(2，0)，

　　设出两根式y=a(x－x1)·(x－x2)，

　　即y＝a(x＋4)(x－2).将顶点（－1,9）代入求a，代入上式求得函数解析式为y=－x2－2x＋8.

点评：

　　一般地，已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x，y的值)可设表达式为y=ax2＋bx＋c，组成三元一次方程组来求解;如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用y=a(x－h)2＋k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标，则一般设解析式为y=a(x－x1)(x－x2).

例5、已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2－2x＋1的顶点是B（如图）．

　　（1）判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？

　　（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

分析：

　　（1）A点在抛物线y=x2－2x＋1上，则A点坐标满足方程．（2）①抛物线过B点，则B点坐标满足方程y=a（x－t－1）2＋t2，利用条件t≠0即可求a．

　　②假设△ABC是直角三角形，由A（t＋1，t2）为顶点知，抛物线y=a（x－t－1）2＋t2与x轴的交点B、C必关于对称轴x=t＋1对称，AB=AC，因△ABC为等腰直角三角形，若作AD⊥x轴于D，则AD=BD，易知D（t＋1，0）．利用条件AD=BD即可求出t的值（注：分点C在B左或右侧讨论）．

解：

　　（1）点A在抛物线y=x2－2x＋1上．

　　因为抛物线y=a（x－t－1）2＋t2的顶点为A（t＋1，t2）．

　　当x=t＋1时，y=x2－2x＋1=（t＋1）2－2（t＋1）＋1=t2，

　　∴点A在抛物线y=x2－2x＋1上．

　　（2）①抛物线y=x2－2x＋1的顶点为（1，0）即B（1，0）．

　　∵抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B（1，0），∴a（1－t－1）2＋t2=0．

　　∴t2（a＋1）=0．∵t≠0，∴a＋1=0，∴a=－1．

　　②抛物线y=a（x－t－1）2＋t2与x轴的两个交点和点A能构成直角三角形．此抛物线与x轴的一个交点为B，另一个交点设为C；当y=0时，得－（x－t－1）2＋t2=0．解得x1=1，x2=2t＋1．∴点B、C的坐标分别为（1，0）、（2t＋1，0）．由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则AD=BD．当点C在点B的左边时，t2=1－（t＋1），t1=－1，t2=0（舍去）；当C在B的右边时，t2=（t＋1）－1，t3=1，t4=0（舍去）．∴当t=±1时，△ABC为直角三角形．

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