主讲：方敏文

一周强化

一、一周知识概述

1、圆的定义

　　（1）形成性定义：在一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．记作“⊙O”，读作“圆O”．

　　（2）集合性定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点是圆心，定长是圆的半径．

2、与圆有关概念

　　（1）弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．

　　（2）直径：经过圆心弦，称为直径．

　　注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．

　　（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A、B为端点的弧用“”表示．读作“弧AB”．能够重合的两条弧叫做等弧．

　　小于半圆周的弧叫做劣弧，大于半圆周的弧叫做优弧．

　　在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等．

　　（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

　　等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆．

2、圆的对称性

　　圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心．

　　注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．

3、垂径定理及推论

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。

4、圆心角

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

5、圆心角、弧、弦之间的关系

　　定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．

　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．

　　注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．

　　(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．

　　(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．

　　(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．

6、圆周角

　　(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．

　　半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．90°的圆周角所对的弧是圆的直径．

　　(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．

二、重难点知识归纳

重点：垂径定理、三组量之间的关系、圆周角定理．

难点：以上定理的综合应用．

三、典例剖析

例1、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　）

　　　A．CM=DM　　　　　　　　B．

　　　C．AD=2BD　　　　　　　 D．∠BCD=∠BDC

分析：

　　因为AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，所以根据垂径定理可知CM=DM，。从而根据“在同圆（或等圆）中，相等的弧所对的弦相等”，可知AC=AD，BC=BD，所以△BCD为等腰三角形，即∠BCD=∠BDC。而AD与BD的数量关系是不确定的，故正确答案为C。

答案：C

例2、已知圆内接△ABC中，AB=AC，圆心O到BC距离为6cm，圆的半径为10cm．求腰AB的长．

分析：

　　分两种情况：圆心O在△ABC内和△ABC外，利用垂径定理结合勾股定理求解．

解：

　　第一种情况：如图(甲)，过点A作AD⊥BC于D，连结OB．

　　∵AB=AC，∴BD=DC．∴AD垂直平分BC．

　　∴AD过圆心O．∴AD=AO＋OD=10＋6=16(cm)．

　　在Rt△OBD中，BD2=OB2－OD2=102－62=64(cm)．

　　在Rt△ABD中，．

　　第二种情况：如图(乙)，过点A作AD⊥BC于点D，连结OB．

　　和第一种解法相同，可得AD过圆心O，

　　∴AD=OA－OD=10－6=4(cm)．

　　在Rt△ABD中，．

　　综合得腰长AB为．

点评：

　　这是一道结论开放性试题，解答时要根据已知和未知，结合图形进行分类讨论，多角度、多方位思考，以培养思维的严密性．

例3、如图所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB//CD，直径MN⊥AB，根据垂径定理，请你至少写出五个结论.

分析：

　　由MN⊥AB，MN为直径，可得AE=BE，.由MN⊥AB，AB//CD，可得MN⊥CD，CF=DF，.又由，可得.

解：

　　正确的结论有：AE=BE，CF=DF，MN⊥CD，

　　.

小结：

　　由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图所示，若AB//CD，则。

例4、已知：如图，A点是半圆上一个三等份点，B点是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值是多少？

分析：

　　利用圆的对称性，将AP＋BP转化为一条线段的长．结合弧与圆心角的关系得到直角三角形是解题的关键．

解：

　　作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上．

　　连结BA′交MN于点P，连结PA，则PA＋PB最小，此时PA＋PB=PA′＋PB=A′B．

　　连结OA′、OB．，∴∠AON=∠A′ON=60°．

　　又．∴∠A′OB=90°．

　　．

　　即PA＋PB的最小值是．

例5、如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．

证明：作直径CF，连结AF、BF．

　　　∵OE⊥BC，∴E为BC的中点．

　　　又∵CF为直径，O为圆心，

　　　．(三角形中位线定理)

　　　∵CF为直径，∴∠CAF=90°，即FA⊥AC．

　　　又AC⊥BD，∴FA∥BD，

　　　∴∠FAB=∠ABD．，BF=AD．．

点评：

　　由线段的倍分关系，容易想到三角形的中位线、垂径定理等知识．本例作直径，是使△BCF的中位线OE显现出来，再证BF=AD即可．

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