例1、2005年10月，继杨利伟之后，航天员费俊龙、聂海胜又遨游了太空，这大大激发了王红庭同学爱好天文学的热情．他通过上网查阅资料了解到，金星和地球的运行轨道可以近似地看作是以太阳为圆心的同心圆，且这两个同心圆在同一平面上(如图所示)，由于金星和地球的运转速度不同，所以二者的位置不断发生变化，当金星、地球距离最近时，此时叫“下合”；当金星、地球距离最远时，此时叫“上合”；在地球上观察金星的视线恰好与金星轨道相切时，此时分别叫“东大距”和“西大距”，已知地球与太阳相距约15(千万km)，金星与太阳相距约10(千万km)，分别求“下合”、“东大距”、“西大距”、“上合”时，金星、地球的距离(可用根号表示)．
(注：在地球上观察金星，当金星分别在太阳的左、右两侧且视线恰好在与金星轨道相切的位置时，分别叫做西大距、东大距)
解析：
如图，设太阳所在地为O点，地球所在地为A点，连结AO并延长分别交小圆B点、E点．
依题意可得，当金星、地球处于“下合”、“上合”时，金星分别位于B点、E点．又过点A作小圆O的切线AC、AD，点C、点D为切点．
当金星、地球处于“东大距”、“西大距”时，金星分别在D点、C点．
由题意可知A、B、O、E在同一直线上，
则下合时，AB=OA－OB=15－10=5(千万km)，
上合时，AE=OA＋OE=15＋10=25(千万km)．
连结OC，因为AC切⊙O于点C，所以OC⊥AC．
所以
(千万km)．
由对称性知东大距AD=
(千万km)．
综上所述，“下合”、“东大距”、“西大距”、“上合”时金星与地球的距离分别为5(千万km)、
(千万km)、
(千万km)和25(千万km)．
点拨：
本题将天文学知识与数学知识有机地结合起来，考查同学们的阅读能力和分析问题的能力．弄清题意中的“下合”、“上合”、“东大距”、“西大距”的意思是解题的关键．
例2、如图中有小岛，它周围20海里内有暗礁，一船跟踪渔群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行30海里到达C点，这时小岛A在北偏东30°处．如果渔船不改变航向，继续向东追踪捕捞，有没有触礁的危险？
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