1、不等式
用不等号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫做不等式.
常见的不等号有：“≠”读作“不等于”；“＞”读作“大于”；
“＜”读作“小于”；“≥”读作“大于或等于”；“≤”读作“小于或等于”.
2、不等式的解
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
3、不等式的解集
一个不等式的所有解组成这个不等式解的集合，简称不等式的解集.
4、不等式的性质
性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．
性质2：不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
)．
性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或
)．
不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0．
5、不等式解集的表示方法
①用不等式表示，如不等式x＋2＞0的解集为x＞－2；
②用数轴表示，如x－2≤0的解集为
6、一元一次不等式
含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式叫做一元一次不等式.
强调：
1、不等式的解不同于不等式的解集，它们是不同的两个概念，用数轴表示不等式的解集时要注意方向及空心点和实心点的区别.
2、运用不等式的基本性质二和三进行不等式变形时，一定要弄清同乘（或除）的这个数是正数还是负数.不等式的两边不能同乘以0.
例1、用不等式表示.
（1）x与1的和是正数；
（2）y的2倍与1的和大于3；
（3）x的
与x的2倍的和是非正数；
（4）c与4的和的30%不大于－2；
（5）x除以2的商加上2，至多为5；
（6）a与b两数的和的平方不可能大于3.
分析：
列不等式要注意抓住问题中的关键词，如（1）中“正数”，（2）中“大于”，（3）中“非正数”，（4）中“不大于”，（5）中“至多”，（6）中“不可能”.
解：
（1）x＋1＞0； （2）2y＋1＞3；
（3）
； （4）30%(c＋4)≤－2
（5）
； （6）(a＋b)2≤3.
例2、下列各数中，哪些是不等式x＋1＜3的解？哪些不是？
－3，－1，0，1，1.5，2.5，3，3.5.
不等式的解能使这个不等式成立，所以把这些值逐一代入不等式即可检验这个数是否是不等式的解.
解：x=－3时，－3＋1＜3成立；
x=－1时，－1＋1＜3成立；
x=0时，0＋1＜3成立；
x=1时，1＋1＜3成立；
x=1.5时， 1＋1.5＜3成立；
x=2.5时， 1＋2.5＞3不成立；
x=3时，3＋1＞3，不成立；
x=3.5时， 3.5＋1＞3，不成立.
∴－3，－1，0，1，1.5是不等式的解，2.5，3，3.5不是不等式的解.
例3、填空：
（1）若a＞0，b＞0，则ab________0；
（2）若b＜0，则a＋b_________a；
（3）若a＞0，b_________0时，ab＜0；
（4）若a－b＞0，则a－2________b－2；
（5）若－a＞－b，且c＞0，则bc________ac；
（6）若a＜b＜0时，则
_________1.
分析：
（1）把b看成是正数，在不等式a＞0的两边同时乘以正数b；
（2）在b＜0的两边同时加a；
（3）在a＞0的两边同时乘以b，不等号的方向发生改变，则b＜0；
（4）在a＞b的两边同时减去2；
（5）由－a＞－b变形为a＜b；
（6）在b＞a的两边同时除以负数a.
解答：（1）＞；（2）＜；（3）＜；（4）＞；（5）＞；（6）＜.
例4、利用不等式的性质，填“＞”或“＜”.
（1）若a＞b，则2a＋1_______2b＋1；
（2）若
，则y_______－8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac＋c________bc＋c；
（4）若a＞0，b＜0，c＜0，则(a－b)c_______0.
分析：分析每个不等式的两边的变化情形，即可确定变形的依据.
解：
（1）因为a＞b，由不等式性质2，有2a＞2b，再由不等式性质1，得2a＋1＞2b＋1.
（2）因为
，将不等式两边除以
，由不等式性质3，得y＞－8.故填“＞”；
（3）因为a＜b，将不等式两边都乘以c，因为c＞0，由不等式性质2，得ac＜bc，再由不等式性质1，得ac＋c＜bc＋c.故填“＜”；
（4）因为a＞0，b＜0，所以a－b＞0，两边都乘以c，又c＜0，由不等式性质3，得(a－b)c＜0，故填“＜”.
例5、下列说法中正确的是（ ）
A．x=3是不等式2x＞1的解
B．x=3是不等式2x＞1的惟一解
C．x=3不是不等式2x＞1的解
D．x=3是不等式2x＞1的解集
分析：
本题考查的考点是不等式的解及解集的概念.不等式的所有解组成这个不等的解集.当未知数等于某值，且该值在这个不等式的解集的范围内，则称它是不等式的一个解，反之，则不是这个不等式的解.
解：
解不等式2x＞1，得
，x=3在这个范围内，所以x=3是不等式2x＞1的解，但2x＞1有无限多个解.
故选A.
例6、(1)不等式2－x＜1的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＞－1 C．x＜1 D．x＜－1
(2)不等式2x＞3－x的解集是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x＜1
(3)不等式
的解集在数轴上(如图所示)表示正确的是（ ）
分析：
(1)移项，得－x＜1－2，即－x＜－1，不等式两边同除以－1，得x＞1．
(2)移项，得2x＋x＞3，即3x＞3，不等式两边同除以3，得x＞1．
(3)先通过去分母，得1＋2x≥5，移项，得2x≥4，所以x≥2．
答案：(1)A (2)C (3)C
例7、(1)如果关于x的不等式(a－2)x＜a＋5和2x＜4的解集相同，则a的值为______．
(2)不等式(a－1)x＜a－1的解集是x＞1，则a的取值范围是______．
分析：
（1）2x＜4的解集为x＜2，知a－2＞0，x＜
;
(2)(a－1)x＜a－1的解集是x＞1,知a－1＜0.
解：
(1)依题意：
，解得a=9
(2)依题意：a－1＜0 ， ∴a＜1
例8、已知方程组
（1）试列出使x＞y成立的关于m的不等式.
（2）运用不等式的基本性质将此不等式化为m＞a或m＜a的形式.
分析：
欲求出使x＞y成立的不等式，需用含有m的代数式表示出x和y，为此先解关于x、y的方程组.
解：
（1）解方程组用含m的代数式表示x和y.
由①＋②得：3x=5m.即
①－②×2得：3y=－m＋3，即
依题意有：
（2）将不等式
的两边都乘以3得：
5m＞－m+3
将不等式两边都加上m得：6m＞3
将不等式两边都除以6得：
