一、一周知识概述

　　本周学习了双曲线的两种定义，推导了双曲线两种标准方程，并要求能用待定系数法求双曲线的标准方程．在数学思想和研究方法上与学习椭圆时类似，所以学习中可与椭圆的相关知识进行对比，注意它们的联系和区别．接下来学习了利用双曲线的标准方程，研究双曲线的几何性质及性质的应用，最后又学习了应用这些知识解决有关双曲线的综合问题．学习这些内容的时候，通过类比椭圆几何性质的研究方法，可以自主探究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，提高类比分析归纳的能力．

二、重、难点知识讲解

1、双曲线的定义（第一定义）

　　平面上，到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为一常数2a（2a<|F1F2|）的点M的轨迹为一双曲线．

　　注意：

　　（1）“在平面上”说明双曲线亦是平面曲线．

　　（2）常数2a应满足“小于|F1F2|=2c”的时候，轨迹才是双曲线；

　　当2a=2c时，M点轨迹为两条射线；

　　当2a>2c时，M点不存在．

　　（3）要注意是差的绝对值，否则只是双曲线的一支；

　　（4）由定义可得双曲线上所有点的性质，即||MF1|－|MF2||=2a.

　　要学会运用此性质．

例1、若椭圆（m>n>0）和双曲线（s、t>0）有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为多少？

[解析]

2、双曲线的标准方程（中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的方程）

　　如果双曲线的焦点在x轴上，标准方程为（a>0,b>0）

　　如果双曲线的焦点在y轴上，标准方程为（a>0,b>0）.

　　双曲线标准方程中a>0，b>0，但a不一定大于b．如果x2的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置．要学会利用题设条件求a、b并判断焦点所在的坐标轴求双曲线方程，或用待定系数法确定双曲线方程；另外，在方程Ax2＋By2=C中，只要AB<0，且C≠0，方程表示双曲线方程．

例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程．

　　（1）c=，经过点（5，－2），焦点在x轴上；

　　（2）a=2，且与双曲线有公共焦点；

　　（3）焦点在x轴上的双曲线过点P（4，－3），且（0，5）与两焦点的连线互相垂直．

[解析]

3、双曲线的几何性质

　　（1）双曲线的几何性质包括：范围、对称轴、对称中心及其实轴与虚轴的概念、焦距与焦点坐标、离心率、准线、渐近线方程等．

　　关于双曲线渐近线方程的记忆，只须将双曲线标准方程中的1改为0即可．如双曲线的渐近线方程为，即，这两条直线恰是边长2a、2b的矩形的两条对角线所在的直线．当双曲线的两支向外延伸时，与这两条直线无限接近，但永不相交．

　　渐近线是双曲线特有的性质，理解渐近线的渐近性，可以理解为：，当x无限增大时，无限接近于0，所以y无限趋近于．

　　（2）等轴双曲线x2－y2=±a2的渐近线方程是y=±x，离心率．

　　（3）离心率的求解注意运用几何性质，将相关线段关系转化为a、b、c的齐次等式．

　　（4）与双曲线有相同渐近线的方程是．

4、要掌握双曲线的第二定义：

　　在平面上到一定点F的距离与到一定直线距离之比为一个大于1的常数e的点的轨迹．即．教材例5即是应用双曲线的第二定义

几何性质见下表：

标准方程	（a>0,b>0）	（a>0,b>0）
图形
范围	|x|≥a,y∈R	|y|≥a,x∈R
对称性	对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点
离心率
顶点	（－a,0）(a,0)	(0,－a),(0,a)
焦点	(－c,0)(c,0)	(0,－c)(0,c)
准线
渐近线

例3、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，

（1）求|AB|.

（2）F1是双曲线的左焦点，求△F1AB的周长．

[解析]

例4、已知双曲线的右焦点F，点A（9，2），试在这个双曲线上求一点M，使|MA|＋|MF|的值最小，并求出这个最小值.

[解析]

4、直线与双曲线的位置关系

　　（1）一次方程与二次方程所表示的是直线与曲线的位置关系，一般处理方法均是将一次方程代入二次方程考查解的个数，但这里直线方程代入双曲线方程后当二次项为零时，即是直线与渐近线平行时，有一个交点，然后讨论△与零的大小判断解的个数．

　　直线与圆锥曲线相交的弦长问题

　　（2）直线l︰y=kx＋b，与二次曲线C︰(x, y)=0交于A、B两点，由得：ax2＋bx＋c=0 (a≠0)，则.

　　（3）利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系。

　　（4）圆锥曲线中的对称问题

　　对于曲线上点关于直线的对称问题处理时要抓住三点：

　　（1）对称点的连线垂直于对称轴（垂直）；

　　（2）对称点的连线段的中点在对称轴上（平分）；

　　（3）对称点所在直线与曲线相交（△>0）。

例5、当k为任值时，直线y=kx－1与双曲线①没有公共点；②有两个公共点；③只有一个公共点．

[解析]

例6、已知双曲线方程3x2－y2=3.

　　（1）求以定点A（2，1）为中点的弦所在直线方程；

　　（2）以定点B（1，1）为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线方程；若不存在，请说明理由．

[解析]

5、有关双曲线的综合应用问题

　　涉及到双曲线综合题，同学们要注意定义、几何性质以及函数，不等式等知识的综合运用．

例7、已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为，能否在双曲线的左支上求一点 P， 使| PF1| 是P到L的距离 d与| PF2| 的等比中项? 若能成等比中项，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

[解析]

例8、已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，AB∥CD，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率．

[解析]