一周强化

一、知识概述

1、直线与圆锥曲线的位置关系

　　直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一．可从代数与几何两个角度考虑．

　　（1）从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必，例如：y=kx＋m代入=1中消y后整理得：(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2=0　　①，当k=±时，该方程为一次方程，此时直线y=kx＋m与双曲线的渐近线平行，当k≠±时，方程①为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系．

　　（2）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：

　　①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．

　　②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．

　　③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．

2、弦长公式：设弦AB端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），直线AB的斜率为k，则：

3、利用“点差法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点（即设出弦的端点坐标）
——代入（即将端点代入曲线方程）——作差（即两式相减）——得出中点坐标与斜率的关系。

4、圆锥曲线中的对称问题

对于曲线上点关于直线的对称问题处理时要抓住三点：

（1）对称点的连线垂直于对称轴（垂直）；

（2）对称点的连线段的中点在对称轴上（平分）；

（3）对称点所在直线与曲线相交（△>0）。

二、重难点知识剖析

1、直线和圆锥曲线的交点问题

设直线l：Ax＋By＋C=0与二次曲线C：f(x, y)=0

（1）交点个数与方程组（*）有几组解一一对应．

（2）交点坐标即为（*）的解，l与C有一个公共点时，l与C相交或相切．

（3）注意消元后非二次的情况

如直线l：Ax＋By＋C=0．圆锥曲线方程f(x, y)=0．

消元（x或y），如消去y后得：ax2＋bx＋c=0，若a=0时，当圆锥曲线是双曲线时；直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行（或重合）．

（4）直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形．

例1、已知双曲线x2－y2=4，直线l：y=k(x＋1)，讨论直线与双曲线公共点个数．

[解析]

2、直线与圆锥曲线相交的弦长问题

　　（1）直线l︰y=kx＋b，与二次曲线C︰(x, y)=0交于A、B两点，由得：ax2＋bx＋c=0 (a≠0)，则

　　（2）若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以便简化计算．

例2、如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB的中点在直线x=2上，求弦AB的长．

[解析]

三、直线与圆锥曲线的中点问题

解决这类问题主要有如下两种方法：

　　(1)韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解．

　　(2)“平方差”法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地首先设出交点坐标A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立了中点坐标和斜率的关系．

例3、一中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x＋y－1=0相交于A、B、C是AB中点，若|AB|=2，OC的斜率为，求椭圆的方程.

[解析]

四、曲线关于直线的对称问题

两点对称问题应注意两个条件：

(1)两点连线与对称直线垂直；(2)两点连线段的中点在对称直线上．

例4、已知椭圆C的直角坐标方程为，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同的两点关于直线l对称．

[解析]