一周强化

一、一周知识概述

　　本周在复习平面向量、平面向量运算、坐标运算、数量积及运算等知识的基础上学习空间向量的概念、空间向量的加减运算和数乘运算，掌握共线向量、共面向量知识，要求学生运用基本定理判断向量共线、共面等关系.

二、重点、难点知识讲解

（一）平面向量重点知识

　　空间向量的加减运算、数乘运算、数量积运算及坐标运算和运算律等基本内容与平面向量的有关知识完全一致，因此复习平面向量的这节内容实质就是在学习新内容.

例1、已知A(2，3)，B(－2，4)，C(－1，－2)，令

（1）求

（2）证明：以OB、OC为邻边的平行四边形的一条对角线与OA垂直.

（3）求向量的夹角，并判断△ABC的形状.

[解析]

（二）空间向量的加、减及数乘运算

1、向量的加法：向量的平行四边形法则在空间仍成立，在求相同起点两个向量之和时可用平行四边形法则．求多个向量之和，可转化为首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量起点指向末端向量的终点的向量，也称多边形法则．

2、向量减法：向量减法满足三角形法则．表示由的终点指向的终点的向量．

3、数乘向量：设λ∈R，则λ还是一个向量．当λ＞0时，与λ方向相同；当λ＜0时，与λ方向相反；λ=0时，λ=．

4、运算律

①加法交换律：

②加法结合律：

③数乘分配律：

例2、已知空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.

[解析]

例3、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．

[解析]

（四）共线向量定理

　　对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ，使．

　　注意：

　　（1）先要弄清共线向量的定义．表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.

　　（2）空间任意两个向量都共面.

　　（3）定理中的条件要注意，否则.

　　（4）若，由.

　　（5）推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t，满足等式，其中为直线的方向向量.

　　若在上取，则有.

　　当，此为线段AB的中点公式.

　　注意推论常用来解决三点共线问题的表示或判定.

例4、如图，已知长方体AC1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC=2∶1，E 为BM的中点，求证：A1，E，N三点共线.

[解析]

（五）共面向量定理

　　如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对x，y，使.

　　推论：①空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使.

　　②或对空间任一点O来说，有

　　注：①定理的证明从必要性和充分性两方面入手；唯一性也可证明.

　　②推论是证明点在面内或点共面的理论依据.

例5、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，则在下列各条件下，点M是否与A、B、C一定共面？

　　（1）；

　　（2）．

[解析]