一周强化

一、一周知识概述

本周学习三个方面的内容

　　（1）在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上学习了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间向量的数量积的概念和计算方法、运算律，以及用向量的方法可解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线与直线垂直，求两点距离或线段长度等问题的基本方法．

　　（2）空间向量基本定理．知道空间任一向量，可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示．这个定理是空间几何研究数量化的基础．有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的基向量所确定．这样，空间的一个点或一个向量与实数组（x,y,z）建立起了一一对应关系．

　　（3）学习了如何建立空间直角坐标系，会用坐标来表示空间向量和空间中的点的位置关系，并会进行空间向量的坐标运算，利用坐标来研究平行向量，垂直向量间应满足的坐标关系，会求空间两点间的距离，两向量间的夹角．

二、重点知识讲解

1、两个向量的数量积的计算方法及其应用.

　　记是两个向量所成的角，||表示的长度.两个向量的数量积·cos．求线段的长，两点间距离等可用向量的长度，证明线线垂直或求夹角可用两个向量的数量积.

例1、如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：

（1）；

（2）；

（3）.

[解析]

2、空间向量基本定理与推论

　　空间向量基本定理与推论是解决空间向量分解与组合的理论依据，也是以后空间向量坐标运算的基础。对于空间向量基本定理及推论，关键在于空间向量的运算。

例2、空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC，△OBC的重心，设

试用向量表示向量.

[解析]

例3、在如图所示平行六面体中，求证：.

[解析]

3、向量的坐标运算

设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，

A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），

则a＋b=(a1＋b1，a2＋b2,a3＋b3）；

a－b=（a1－b1，a2－b2，a3－b3）；

λa=（λa1，λa2，λa3）（λ∈R）；

a·b=a1b1＋a2b2＋a3b3；

a∥ba1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）；

a⊥ba1b1＋a2b2＋a3b3=0；

=(x2－x1，y2－y1，z2－z1).

例4、设向量a=（3，4，5），b=（2，1，7），计算2a＋3b，3a－2b，a·b，并确定λ，μ的关系值λa＋μb与z轴垂直.

[解析]

4、在空间直角坐标系下，某些特殊位置的点的坐标特征.

　　A（x、y、z），若A在坐标轴上，则除该坐标轴对应的坐标外，另外的两坐标均为0．

　　若A在坐标平面上，则除该坐标平面对应的两坐标外的那个坐标为0.

　　与坐标轴平行的向量a=（x、y、z），除该坐标轴对应的坐标外的另两坐标皆为0.

例5、已知正方形P1P2P3P4在xOy平面上，边长为a，P1P2，P1P4分别垂直于Oy轴和Ox轴，点S在z轴的正半轴上，且S到正方形四个顶点的距离均为a，试求点S，P1，P2，P3和P4的直角坐标.

[解析]

5、利用向量的夹角公式求异面直线所成角.

　　设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），

　　则|a| =,

　　,

　　注意：若所求值为负值，则该角的补角为所成异面直线所成角；若为正，则该角为所求角.

例6、已知△ABC，∠C=90°，SA⊥平面ABC，且AC=2，BC=，求直线CS与AB所成角的大小.

[解析]

三、难点知识剖析

1、空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于以后用向量方法解几何问题很有用，同时也为后续教学空间向量的直角坐标运算作准备，选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本功。

2、把立体几何问题转化为向量计算问题是学习空间向量的难点，也是用向量解决几何问题的重点，这里关键是选择基向量。空间四边形或平行六面体通常依从一个顶点出发的三条棱的方向向量来建立一个基底，将所对应的向量的运算转化为对基向量的运算。

例7、在空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN.

[解析]

例8、在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，E为BC中点．

（1）求直线AO1与B1E所成角的大小；

（2）作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．

[解析]