一周强化

一、一周知识概述

　　本周主要学习基本不等式及其应用，课本首先证明了一个重要的不等式a2＋b2≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用．最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.

二、重难点知识归纳

1、重要不等式

　　（1）若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）．

　　（2）若a，b为正实数，则（当且仅当a=b时取“=”号）．

　　（3）若a、b、c为正实数，则．（当且仅当a=b=c时取“=”号）

2、重要不等式的两种变形形式

3、利用重要不等式求最值

　　已知a，b都是正数，若ab是实值P，则当a=b=时，和a＋b有最小值2，已知a，b都是正数，若a＋b是实值S，则当a=b=时，积ab有最大值.

　　运用重要不等式求值时，最注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可．

三、典型例题剖析

例1、已知a，b，c为正实数，求证：

[解析]

例2、已知x，y为正实数，且x＋4y=1，求证：

[解析]

例3、已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1，求证：

[解析]

例4、已知a，b为正数，且，求的最大值以及达到最大值时a，b的值.

[解析]

例5、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）

[解析]