基本不等式：

一、一周知识概述

　　在学习了不等式的基本性质后学习并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释．基本不等式是不等式证明及求函数最值的重要工具．

二、重点知识归纳

1、一般地对于任意实数a,b，，当且仅当a=b时，等号成立．

2、当a＞0，b＞0时，称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数。，当仅且当a=b时“=”成立．

3、两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三相等”

三、典型例题讲解

例1、(1)若lgx＋lgy＝2，求的最小值．

　　 (2)若正数x，y满足x＋2y＝1，求的最小值．

分析：

　　运用基本不等式，注意取等号的条件．

解：

　　(1)∵lgx＋lgy＝2

　　∴lgxy＝2　即xy＝100

　　∴≥2(等号当且仅当x＝y＝10时取得)

　　∴的最小值为．

　　(2)∵x＋2y＝1，且x＞0，y＞0

　　∴≥3＋2

　　当且仅当即x＝－1，y＝1－时，

　　取最小值3＋2．

　　下面解法是否正确，为什么？

　　∵x＞0，y＞0

　　∴1＝x＋2y≥2

　　∴≥2

　　∴≥≥4．

例2、已知是正实数，。求证：

分析：

　　本题不能由，求解，因为两式当且仅当时成立，而显然是不可能的，故考虑能否部分使用。

解法一：

解法二：

　　，

　　因为是正实数，所以，又，所以

　　所以所以

　　故

例3、设求证。

分析：

　　若直接使用基本不等式，则无法消去，此时需对条件作结构上的变换，创造条件使用基本不等式。

证明：

　　

　　　　　　　　

例4、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

分析：

　　先根据题意画出草图，设画面的宽为自变量x（cm），将所用纸张面积表示成x的函数，再求函数的最小值.

解：

　　如图所示，设画面的宽为xcm，则画面的高为，设纸张面积为Scm2.

　　

答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小.

例5、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）

分析：先由面积列出a，b的方程，由题意将问题转化为使ab取最大值时a、b的值.

解法一：

　　依题意，即所求的a，b值使ab最大.

　　由题设知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0）

　　即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0）

　　

　　当且仅当a=2b时，上式取等号.

　　由a>0，b>0，解得0<ab≤18.

　　即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.

　　∴ 2b2=18，解得b=3，a=6.

　　故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

解法二：

　　设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k>0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.

　　根据题设，有4b＋2ab＋2a=60 （a>0，b>0），

　　

　　这时a=6，a=－10（舍去）.

　　将a=6，代入①式得 b=3.

　　故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

小结：

　　应用均值不等式解决实际问题时，应注意：

　　（1）先理想题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

　　（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；

　　（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

　　（4）正确写出答案.

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